Question

В прямоугольном треугольнике ABC уголC=90 градусов биссектриса AK равна 20см угол AKB равен 120 градусов . Найдите расстояние от точки K до прямой AB

Answer 1

АКВ=120 гр. Тогда смежный с ним угол СКА=60 гр. В треугольнике СКА, угол САК= 30 гр. Значит если это биссектриса, то угол А = 30+30=60. В треугольнике КНА угол НКА= 60 град, так как 180-90-30=60. Весь угол ВКА= 120 гр. Тогда по теореме в прямоугольном треугольнике против угла 30 гр. лежит катет равный половине гипотенузы. Тогда КН=20/2=10 см. 

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов для треугольника AKB. Теорема синусов утверждает, что в треугольнике со сторонами a, b и c, и противолежащими углами α, β и γ соответственно, выполнено следующее соотношение:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

В треугольнике AKB:

AK = 20 см (биссектриса, разделяющая угол BAK)

Угол BAK = 120 градусов (дано в условии)

Угол B = 90 градусов (так как треугольник ABC прямоугольный)

Теперь нам нужно найти расстояние от точки K до прямой AB (пусть это расстояние обозначено как h). Так как точка K находится внутри треугольника AKB, это расстояние будет вертикальной высотой из вершины A на сторону BK.

Пусть x - расстояние от точки K до точки B и y - расстояние от точки K до точки A.

Тогда, x + y = AK (так как AK - биссектриса, она делит сторону AB на две равные части)

Теперь, применим теорему синусов к треугольнику AKB:

$\frac{x}{\sin(120^\circ)} = \frac{y}{\sin(90^\circ)}$

Так как $\sin(120^\circ) = \sin(360^\circ - 120^\circ) = \sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(90^\circ) = 1$, получаем:

$\frac{x}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{y}{1}$

Теперь выразим x через y из уравнения x + y = AK:

$x = AK - y = 20 - y$

Подставим выражение для x в уравнение синусов:

$\frac{20 - y}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = y$

Теперь решим уравнение относительно y:

$20 - y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot y$

$20 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot y + y$

$20 = \frac{1}{2} \cdot y \cdot (2 - \sqrt{3})$

$y = \frac{20}{2 - \sqrt{3}}$

Теперь найдем x:

$x = 20 - y = 20 - \frac{20}{2 - \sqrt{3}} = 20 \cdot \left(1 - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}\right)$

Чтобы избавиться от знаменателя во второй скобке, умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение (2 + √3):

$x = 20 \cdot \left(1 - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}\right) \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

$x = 20 \cdot \frac{2 + \sqrt{3} - 1}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$