Question

У прямокутному трикутнику ABC до гіпотенузи AB проведено висоту CM. Площа ACM=12 квадратних сантиметрів , ф площа DCM=108 квадратних сантиметрів. Знайдіть сторони трикутника ABC

Answer 1

Відповідь додаю на фото

Answer 2

Давайте позначимо сторони прямокутного трикутника ABC:

AB - гіпотенуза (протилежна до прямого кута) BC - катет AC - катет

Також позначимо довжину висоти CM як h.

Ми знаємо площі ACM і DCM:

Площа ACM = 12 кв. см, Площа DCM = 108 кв. см.

Площа прямокутного трикутника ABC може бути знайдена з двох рівнянь:

1. ACM + DCM = Площа прямокутного трикутника ABC

2. (AB * h) / 2 = ACM (так як ACM - прямокутний трикутник)

3. (BC * h) / 2 = DCM (так як DCM - прямокутний трикутник)

Ми можемо знайти довжину висоти h, використовуючи рівняння 2 і 3:

(AB * h) / 2 = 12, (BC * h) / 2 = 108.

Зробимо підстановку в рівняння 2:

(BC * h) / 2 = 108, BC * h = 216, BC = 216 / h.

Тепер підставимо значення BC у рівняння 1:

ACM + DCM = Площа прямокутного трикутника ABC, 12 + 108 = Площа прямокутного трикутника ABC, 120 = Площа прямокутного трикутника ABC.

Тепер знайдемо значення гіпотенузи AB за допомогою рівняння 2:

(AB * h) / 2 = 12, AB * h = 24, AB = 24 / h.

Знаємо, що площа прямокутного трикутника ABC дорівнює 120 кв. см, тому:

(AB * BC) / 2 = 120, (24 / h * 216 / h) / 2 = 120, (24 * 216) / (2 * h^2) = 120, h^2 = (24 * 216) / (2 * 120), h^2 = 648 / 2, h^2 = 324, h = √324, h = 18.

Тепер можемо знайти сторони прямокутного трикутника ABC:

AB = 24 / h = 24 / 18 = 4/3 ≈ 1.33 см, BC = 216 / h = 216 / 18 = 12 см, AC = √(AB^2 + BC^2) = √((4/3)^2 + 12^2) ≈ √(16/9 + 144) ≈ √(160/9) ≈ 4√10/3 ≈ 2.49 см.

Отже, сторони прямокутного трикутника ABC дорівнюють приблизно:

AB ≈ 1.33 см, BC = 12 см, AC ≈ 2.49 см.