Question

Из точки А(5;9) проведены касательные к параболе y^2=5x. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.

Answer 1

Даны парабола у² = 5х и точка А(5;9).
Находим уравнения касательных к заданной параболе, проходящих через точку А.
y' = √5/(2√x),   y/(xo) = √5/(2√xo).
yкас = (√5/(2√xo))*(x - xo) + (√(5xo)).
Так как касательные проходят через точку А, подставим её координаты вместо переменных х и у:
$9= \frac{ \sqrt{x} }{2 \sqrt{xo} } (5-xo)+ \sqrt{5xo} .$
Решением этого уравнения есть 2 точки касания:
х₁ = (137/5)-(36√14/5) ≈ 0,46006682.
у₁ = √(137 - 36√14) ≈ 1,516685.

х₂ =  (137/5)+(36√14/5) ≈ 54,33993.
у₂ = √(137 + 36√14) ≈ 16,48331.

Общее уравнение прямой, проходящей через точки касания, с точностью до двух знаков:  -14,97х + 53,88у = 74,83.
Для получения уравнения в каноническом виде (х - хВ)/(хС - хВ) = (у - уВ)/(уС - уВ) надо подставить координаты точек касания.

Answer 2

Для составления уравнения хорды, соединяющей точки касания, нужно сначала найти координаты точек касания параболы с касательными из точки А(5;9). Далее, мы можем использовать эти точки, чтобы найти уравнение хорды.

Для параболы y^2 = 5x уравнение касательной в точке (a, b) имеет вид: y - b = m(x - a)

Где m - это угловой коэффициент касательной, который можно найти, продифференцировав уравнение параболы и подставив значение x = a:

dy/dx = 5/(2√(5x))

dy/dx в точке (a, b) равно угловому коэффициенту m.

Теперь найдем угловой коэффициент касательной к параболе в точке А(5;9):

m = 5/(2√(5*5)) = 5/(2√25) = 5/10 = 1/2

Теперь, зная угловой коэффициент m, мы можем найти уравнение касательной, проходящей через точку А(5;9):

y - 9 = (1/2)(x - 5)

Упростим уравнение:

2y - 18 = x - 5

Теперь найдем точки пересечения этой касательной с параболой, решив систему уравнений:

1. y^2 = 5x
2. 2y - 18 = x - 5

Подставим выражение из второго уравнения в первое:

(2y - 18)^2 = 5(2y - 18)

Раскроем квадрат:

4y^2 - 72y + 324 = 10y - 90

Перенесем все члены в одну сторону:

4y^2 - 82y + 414 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-82)^2 - 44414 = 6724

Дискриминант D > 0, значит, у нас два корня:

y1 = (82 + √6724)/8 y1 = (82 + 82)/8 y1 = 164/8 y1 = 20.5

y2 = (82 - √6724)/8 y2 = (82 - 82)/8 y2 = 0

Теперь найдем соответствующие значения x, подставив найденные y обратно в уравнение 2:

x1 = 2y1 - 18 x1 = 2 * 20.5 - 18 x1 = 41 - 18 x1 = 23

x2 = 2y2 - 18 x2 = 2 * 0 - 18 x2 = -18

Таким образом, у нас две точки пересечения: P1(23, 20.5) и P2(-18, 0).

Наконец, составим уравнение хорды, проходящей через эти две точки. Для этого используем общее уравнение прямой:

y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)

Подставим координаты P1 и P2:

y - 20.5 = (0 - 20.5) / (-18 - 23) * (x - 23)

y - 20.5 = (-20.5) / (-41) * (x - 23)

y - 20.5 = 0.5 * (x - 23)

Упростим:

y - 20.5 = 0.5x - 11.5

И окончательно, уравнение хорды:

y = 0.5x + 9

Таким образом, уравнение хорды, соединяющей точки касания параболы y^2 = 5x с касательными из точки А(5;9), будет y = 0.5x + 9.