Question

В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причём ОК=9см. Найдите длину высоты ОК треугольника МОN

Answer 1

По теореме Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны. Тогда скажем, что МО-гипотенуза и угол К1МО=КМО, так как МО-биссектриса. Эти треугольники равны, а значит соответствующие элементы равны, Ок1=ОК=9см. 

Answer 2

Для решения задачи, давайте обозначим несколько величин на рисунке:

Пусть:

• $MN$ — основание остроугольного треугольника $MNP$,
• $NK$ — высота треугольника $MNP$,
• $MO$ — биссектриса угла $M$,
• $ON$ — высота треугольника $MON$,
• $OK$ — высота треугольника $MNP$ (проходящая через точку $O$).

Мы знаем, что $OK = 9$ см.

Также, по свойству биссектрисы в треугольнике, можно сказать, что отношение длины $MO$ к длине $ON$ равно отношению длины стороны $MP$ к стороне $NP$, то есть:

$\frac{MO}{ON} = \frac{MP}{NP}$.

Осталось найти отношение сторон $MP$ к $NP$. Мы знаем, что в остроугольном треугольнике биссектриса делит основание на отрезки пропорциональные боковым сторонам треугольника. Таким образом, можно написать:

$\frac{MP}{NP} = \frac{MO}{NK}$.

Теперь мы можем объединить оба равенства:

$\frac{MO}{ON} = \frac{MO}{NK}$.

Сокращаем на $MO$:

$\frac{1}{ON} = \frac{1}{NK}$.

Теперь выразим $ON$ через известную длину $NK$:

$ON = \frac{NK}{NK} = 1$.

Таким образом, длина высоты $ON$ треугольника $MON$ равна $1$ см.