Question

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 5. Высота призмы равна радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Найти площадь полной поверхности призмы.

Answer 1

Формула с радиусом 100 процентов правильная

Answer 2

Для решения этой задачи нужно разделить её на две части: нахождение радиуса вписанной окружности и вычисление площади полной поверхности призмы.

1. Найдем радиус вписанной окружности в основание прямой треугольной призмы.

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно найти по формуле:

$r = \frac{{\text{{площадь треугольника}}}}{{\text{{полупериметр треугольника}}}}$

где площадь треугольника можно найти как половину произведения катетов, а полупериметр равен сумме половины гипотенузы и суммы катетов.

$\text{{Площадь треугольника}} = \frac{{\text{{катет1}} \times \text{{катет2}}}}{2} = \frac{5 \times 12}{2} = 30 \text{{ кв. см}}$

$\text{{Полупериметр}} = \frac{{13 + 5 + 5}}{2} = 11.5 \text{{ см}}$

$r = \frac{30}{11.5} \approx 2.61 \text{{ см}}$

2. Теперь найдем площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности прямой треугольной призмы вычисляется по формуле:

$\text{{Площадь полной поверхности}} = 2 \times (\text{{Площадь основания}} + \text{{Площадь боковой стороны}})$

Площадь основания треугольной призмы равна площади прямоугольного треугольника, которая уже найдена:

$\text{{Площадь основания}} = 30 \text{{ кв. см}}$

Теперь нам нужно найти площадь боковой стороны призмы. Боковая сторона - это прямоугольный треугольник, у которого катеты равны высоте призмы и радиусу вписанной окружности:

$\text{{Площадь боковой стороны}} = \frac{{\text{{высота призмы}} \times r}}{2}$

Высота призмы равна радиусу вписанной окружности, так что:

$\text{{Площадь боковой стороны}} = \frac{{r^2}}{2} = \frac{{2.61^2}}{2} \approx 3.40 \text{{ кв. см}}$

Теперь вычислим площадь полной поверхности призмы:

$\text{{Площадь полной поверхности}} = 2 \times (30 + 3.40) = 66.8 \text{{ кв. см}}$

Ответ: Площадь полной поверхности прямой треугольной призмы равна приблизительно 66.8 квадратных сантиметров.