Question

в пурямоугольном треугольнике АВС угол С=90°, биссектриса АК равна 18см , расстояние от точки К до прямой АВ равна 9см. Найдите градусную меру угла АКВ

Answer 1

К перескает АВ в т.М, угол АМК=90°( по условию ).

В треуг АКМ катет КМ =9 = 1/2 гипотенузы АК ( АК=18 )=> угол КАМ=30°( по свойству угла равному 30° ). Тогда угол АКМ = 180-90-30=60

В треуг АСК угол САК =КАМ=30°, =>
угол АКС=180-90-30=60.

Угол МКВ=180-60-60=60, => угол АКВ=АКМ+МКВ=60+60=120.

Ответ:120°

Answer 2

Для решения задачи, нам нужно найти угол АКВ (обозначим его как θ). Зная длину биссектрисы АК (18 см) и расстояние от точки К до прямой АВ (9 см), мы можем применить следующий подход:

Пусть D - точка пересечения биссектрисы АК с прямой ВС (см. рисунок ниже).

mathematicaCopy code
            A
           / \
          /   \
         /     \
       K/_______\D
        /    |   \
       /     |    \
      /______|_____\ 
     B      9см    C

Для начала, заметим, что треугольник АКС подобен треугольнику АКВ по принципу углового подобия (поскольку угол АКС также равен θ).

Теперь, используем свойство биссектрисы:

Деление боковой стороны прямоугольного треугольника биссектрисой делит её на две отрезка, длины которых пропорциональны прилежащим к ним катетам.

Поэтому:

AK / KD = AB / BD

Мы знаем, что AK = 18 см и расстояние KD = 9 см. Теперь нам нужно найти длину отрезка BD.

Поскольку треугольник АКВ подобен треугольнику АКС, то соотношение сторон в них будет таким же:

AV / KS = AK / AS

А так как AV = AB (потому что треугольник АВС прямоугольный, и АV — это гипотенуза), а AK = 18 см, то нам осталось найти AS (расстояние от точки К до прямой ВС).

Мы знаем, что у треугольника АКВ и треугольника АКС углы θ равны. Таким образом, угол КАС тоже равен θ, а следовательно, треугольник КАС равнобедренный.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора для треугольника КАС:

KS^2 + AS^2 = AK^2

AS^2 = AK^2 - KS^2

AS^2 = 18^2 - 9^2

AS^2 = 324 - 81

AS^2 = 243

AS = √243

AS = 3√3 см

Теперь мы можем вернуться к нашему соотношению:

AV / KS = AK / AS

AB / KS = 18 / (3√3)

Теперь найдем длину отрезка BD:

AK / KD = AB / BD

18 / 9 = AB / BD

2 = AB / BD

BD = AB / 2

Мы знаем, что AV = AB, так как это гипотенуза прямоугольного треугольника, поэтому BD = AV / 2

Теперь, зная длину BD, мы можем применить тангенс угла θ:

tan(θ) = BD / AD

tan(θ) = (AV / 2) / 9

tan(θ) = (AB / 2) / 9

Так как AB = AV, то

tan(θ) = (AV / 2) / 9

Мы уже знаем, что AV = 3√3 см, поэтому:

tan(θ) = (3√3 / 2) / 9

Теперь найдем значение тангенса:

tan(θ) = (3√3 / 18)

Теперь найдем значение угла θ:

θ = arctan(3√3 / 18)

Подсчитаем численное значение:

θ ≈ 18.43°

Таким образом, градусная мера угла АКВ (θ) составляет примерно 18.43°.