Question

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, равен 3 см, KВ = 4 см, где K – точка касания окружности с боковой стороной. Найдите: 1) сторону АС; 2) угол ВАС; 3) радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Answer 1

ΔАВС - равнобедренный,  АВ=ВС ,  вписанная окр. r=ОН=ОК=3 cм
ВН - высота ΔАВС  ⇒  ΔАВН - прямоугольный, ∠АНВ=90°,
ΔВОК - прямоугольный, т.к. ∠ВКО=90° (как радиус впис. окр., проведённый к стороне Δ).
ΔАВН ~ ΔВКО по двум углам, т.к. ∠АВН - общий, а ∠ВАН=∠ВОК=90°-∠АВН.
По теореме Пифагора ВО=√(ВК²+ОК²)=√(4²+3²)=5
⇒  ВН=ВО+ОН=ВО+r=5+3=8 (cм)
Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:
ВК:ВН=ОК:АН=ВО:АВ  ⇒  4:8=3:АН=5:АВ  ⇒  АН=6 , АВ=10.
АС=2*АН=2*6=12 , т.к. высота ВН явл. ещё и медианой.
tg∠ВАС=ВН/АН=8/6=4/3  ⇒  ∠ВАС=arctg4/3
Радиус описанной окружности найдём из формулы:  $R=\frac{abc}{4S}$ .
S=1/2*АС*ВН=1/2*12*8=48 (см²)
R=(10*10*12)/(4*48)=6,25 (см)

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанных и описанных окружностей в треугольниках.

1. Найдем сторону АС: Пусть I - центр вписанной окружности, O - центр описанной окружности, и пусть точка K - точка касания вписанной окружности с стороной BC. Также пусть BC = a, AC = b, и угол BAC = x.

Так как радиус вписанной окружности равен 3 см, то прямоугольный треугольник BIK (прямой угол в точке K) имеет катеты 3 см и 4 см (половина основания АС). Используем теорему Пифагора для треугольника BIK:

BI^2 + IK^2 = BK^2 (3 см)^2 + (4 см)^2 = BK^2 9 см^2 + 16 см^2 = BK^2 25 см^2 = BK^2 BK = √25 см BK = 5 см

Теперь обратим внимание на треугольник BKC. Мы знаем, что BK = 5 см (отрезок, соединяющий точку касания с вершиной B), а также что KB = KC (так как точка касания K лежит на биссектрисе угла BAC). Значит, треугольник BKC является равнобедренным, и стороны KB и KC равны между собой.

Теперь у нас есть равнобедренный треугольник BKC, где KB = KC = 5 см. Поскольку он равнобедренный, у него медиана BM (где M - точка пересечения биссектрисы и медианы из вершины B) делит сторону AC пополам:

BM = CM = AC / 2

Из этого следует:

AC = 2 * CM

Мы знаем, что CM = KC - KM, где KM - радиус вписанной окружности, т.е. KM = 3 см:

AC = 2 * (KC - KM) AC = 2 * (5 см - 3 см) AC = 2 * 2 см AC = 4 см

Ответ: сторона АС равна 4 см.

2. Найдем угол ВАС: Так как треугольник ABC - равнобедренный, у нас есть равенство углов B и C (углы при основании). Обозначим их за α:

α = угол ВАС = угол CAB

Также, угол BKC - это угол между касательной KB и биссектрисой угла BAC. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что угол BKC = 180° - 2α.

Теперь посмотрим на треугольник BKO, где O - центр описанной окружности. В этом треугольнике угол BKO - это угол между радиусом OB и стороной BC, и он равен половине угла BAC, то есть BKO = 0.5α.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, мы можем записать:

BKO + BKC + KBC = 180° 0.5α + (180° - 2α) + 90° = 180°

Упростим уравнение:

0.5α + 180° - 2α + 90° = 180° 0.5α - 2α + 270° = 180° -1.5α = -90° α = 60°

Ответ: угол ВАС (и угол CAB) равен 60°.

3. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника АВС (радиус описанной окружности). Известно, что в описанном треугольнике радиус окружности равен половине длины стороны BC.

Радиус окружности описанной около треугольника ABC (R) = BC / 2 Мы уже нашли, что BC = 4 см, поэтому:

R = 4 см / 2 R = 2 см

Ответ: радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2 см.