Question

Прямоугольная трапеция с основаниями 7 и 15 см и высотой 6 см Вращается около прямой, Проходящей через вершину острого угла перпендикулярно основаниям. Найдите Объем и площадь поверхности тела вращения.

Answer 1

При вращении получим цилиндр, радиус основания которого R=15 см,
высотой Н=6 см, из которого вырезан конус, радиус основания которого равен 15-7=8 см, высота h=6.
V(тела)=V(цил)-V(кон)=V₁-V₂, 
S(пов.тела)=S(пов.цил)-S(осн.кон)+S(бок.кон)=S₁-S(осн.кон)+S(бок.кон) .

$V=V_1-V_2=\pi R^2H-\frac{1}{3}\pi \cdot r^2H=\pi \cdot 15^2\cdot 6-\frac{1}{3}\pi \cdot 8^2\cdot 6=\\\\=\pi (1350-128)=1222\, \pi \\\\S=S_1-S(osn.kon)+S(bok.kon)=\\\\=2\pi R^2+2\pi RH-\pi r^2+\pi rl=[\, l=\sqrt{8^2+6^2}=10\, ]=\\\\=2\pi \cdot 15^2+2\pi \cdot 15\cdot 6-\pi \cdot 8^2+\pi \cdot 8\cdot 10=\\\\=450\pi +180\pi -64\pi +80\pi =646\, \pi$

Answer 2

Для нахождения объема и площади поверхности тела вращения прямоугольной трапеции вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно основаниям, используется метод цилиндрических оболочек.

1. Найдем объем тела вращения: Объем тела вращения получается путем интегрирования функции площади поперечного сечения (в нашем случае круга) по высоте тела вращения.

Объем V = ∫[a, b] A(h) dh,

где A(h) - площадь поперечного сечения (круга) на высоте h, a - начальная высота (высота нижнего основания трапеции), b - конечная высота (высота верхнего основания трапеции).

В нашем случае, a = 0 (так как когда трапеция поворачивается, одно из оснований находится в начале координат).

2. Найдем площадь поверхности тела вращения: Площадь поверхности тела вращения также находится путем интегрирования функции длины окружности поперечного сечения (в нашем случае круга) по высоте тела вращения.

Площадь поверхности S = 2π ∫[a, b] L(h) dh,

где L(h) - длина окружности поперечного сечения (круга) на высоте h, a - начальная высота (высота нижнего основания трапеции), b - конечная высота (высота верхнего основания трапеции).

Теперь найдем значения A(h) и L(h) для нашей трапеции на каждой высоте h:

Высота h: 0 ≤ h ≤ 6 Ширина трапеции: w = 7 + (h/6) * (15 - 7) Радиус круга: r = w / 2 = (7 + (h/6) * (15 - 7)) / 2 Площадь круга: A(h) = π * r^2 = π * ((7 + (h/6) * (15 - 7)) / 2)^2 Длина окружности: L(h) = 2 * π * r = 2 * π * (7 + (h/6) * (15 - 7)) / 2

Теперь, используем интегралы для вычисления объема и площади поверхности:

Объем V = ∫[0, 6] π * ((7 + (h/6) * (15 - 7)) / 2)^2 dh

Площадь поверхности S = 2π ∫[0, 6] (7 + (h/6) * (15 - 7)) dh

Точные значения интегралов могут быть сложными для вычисления вручную, но вы можете использовать калькулятор или программу для численного интегрирования.