Question

Точка A находится на расстоянии 9 см от плоскости α. Наклонные AB и AC образуют с плоскостью α углы 45° и 60° соответственно. Найдите расстояние между точками C и B, если угол между проекциями наклонных равна 150°.

Answer 1

Расстояние от точки до плоскости есть перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной плоскости. AD перпендикулярна alpha, следовательно, AD перпендикулярна любойпрямой, лежащей в плоскости alpha. Получаем два прямоугольных треугольника - ADB и ADC. BD  - проекция наклонной AB на плоскость alpha. Аналогично,  DC - проекция прямойAC на плоскость alpha.

/_ABD=45, /_ACD=60

Угол между проекциями наклонных - угол между прямыми BD и DC. /_BDC=150 (поусловию). Треугольник ADB: /_ABD=45. По теореме о сумме углов треугольника получаем/_BAD=45

Треугольник ADB - равнобедренный прямоугольный. BD = AD = 9 см.

Рассмотрим треугольник АDC . Угол АСD=60, значит, угол DAC=30. По теореме синусов находим DC.

9/sin 60 = DC/sin30;   DC=9*0,5/√3/2;  DC=3√3.

BC находим по теореме косинусов  BC^2=BD^2+DC^2-2*BD*DC*cosBDC.

ВС^2=81+27-54√3*(-1/2√3)=189;  ВС=√189=13,75.

Ответ: 13,75 см.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся геометрическими свойствами и законами тригонометрии.

Пусть точка O - проекция точки A на плоскость α. Тогда треугольник AOB прямоугольный, где AO - это высота, опущенная из точки A на плоскость α. Так как угол между наклонной AB и плоскостью α равен 45°, а угол между наклонной AC и плоскостью α равен 60°, то угол между наклонными AB и AC равен 15° (150° - 45° - 60°).

По теореме синусов для треугольника AOB: $\sin 45° = \frac{AO}{AB}$ $\sin 60° = \frac{AO}{AC}$

Поскольку $\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{AO}{AB}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AO}{AC}$

Отсюда получаем, что $AO = \frac{AB}{\sqrt{2}}$ и $AO = \frac{AC}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем высоты BH и CH треугольника ABC: $BH = AB \cdot \sin 45° = AB \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{AB}{\sqrt{2}}$

$CH = AC \cdot \sin 60° = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{\sqrt{3}}$

Так как AO является общей стороной треугольников AOB и AOC, то BH и CH являются проекциями наклонных AB и AC соответственно на плоскость α. Из условия задачи известно, что угол между проекциями равен 150°. Таким образом, получаем, что угол BHC равен 150°.

Теперь мы имеем прямоугольный треугольник BHC, в котором угол BHC равен 150°, а катеты BH и CH равны $BH = \frac{AB}{\sqrt{2}}$ и $CH = \frac{AC}{\sqrt{3}}$.

Для нахождения гипотенузы BC применим теорему косинусов: $BC^2 = BH^2 + CH^2 - 2 \cdot BH \cdot CH \cdot \cos(BHC)$ $BC^2 = \left(\frac{AB}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{AC}{\sqrt{3}}\right)^2 - 2 \cdot \frac{AB}{\sqrt{2}} \cdot \frac{AC}{\sqrt{3}} \cdot \cos(150°)$

Так как $\cos(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$