Question

у прямокутному трикутнику АВС до гіпотенузи АВ проведено висоту СМ. Площа трикутника АСМ дорівнює 6 см², а площа трикутника ВСМ - 54 см². Знайдіть довжину сторін трикутника АВС

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Давайте позначимо довжини сторін трикутника АВС:

AB = a (довжина гіпотенузи), BC = b (довжина катета), AC = c (довжина другого катета).

Також, позначимо висоту, проведену до гіпотенузи АВ, як h.

Задано площі трикутників АСМ і ВСМ:

Площа трикутника АСМ = 6 см², Площа трикутника ВСМ = 54 см².

Ми можемо скористатися формулою для площі трикутника: Площа = (1/2) * основа * висота.

Тоді для трикутника АСМ:

6 = (1/2) * AC * h, 12 = AC * h. ..........(1)

А для трикутника ВСМ:

54 = (1/2) * BC * h, 108 = BC * h. ..........(2)

Тепер, ми знаємо, що довжина катета ВС = BC і довжина другого катета АС = AC.

Далі, ми можемо скористатися властивістю подібних трикутників.

Оскільки трикутники ВСМ і АСМ подібні до трикутника АВС, відношення довжин сторін цих трикутників дорівнює відношенню довжин сторін трикутника АВС:

BC / AB = AC / AB.

За допомогою знайдених рівнянь (1) і (2), ми можемо замінити BC і AC у рівнянні:

108 / AB = 12 / AB, 108 = 12, AB = 108 / 12, AB = 9.

Тепер, коли ми знайшли довжину гіпотенузи АВ, ми можемо знайти довжину катетів:

BC = 108 / AB = 108 / 9 = 12, AC = 12 / 2 = 6.

Таким чином, довжина сторін трикутника АВС є:

AB = 9, BC = 12, AC = 6.