Question

Докажите что медианы равностороннего треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2:1 считая от вершины

Answer 1

ΔABC; медианы AA_1 и BB_1; пересекаются в точке G. Через A_1 проводим прямую, параллельную BB_1, пересекающую AC в точке D.Угол ACB пересекается параллельными прямыми⇒по теореме о пропорциональных отрезках B_1D:DC=BA_1:A_1C=1:1⇒B_1D=DC⇒AB_1=2B_1D.
Угол CAA_1 пересекается параллельными прямыми⇒по теореме о пропорциональных отрезках AG:GA_1=AB_1:B_1D=2:1.
Таким образом, медиана BB_1 в точке пересечения разделила медиану AA_1 в отношении 2 к 1, считая от вершины. Поскольку мы взяли две произвольные медианы, доказано, что каждая из них разделит каждую в отношении 2 к 1. Поэтому во-первых они пересекаются в одной точке, а во-вторых, делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины.
Замечание для продвинутых (21+)))Знающие теорему Чевы вопрос о том, что медианы пересекаются в одной точке, не задают. А знающие к тому же теорему Менелая, не спрашивают и про отношение 2 к 1. А знающие теорему Ван-Обеля   просто умирают при этом со смеху, потому что для них решение прокручивается устно в голове за 0,5 секунды максимум 

Answer 2

Чтобы доказать, что медианы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1 считая от вершины, давайте рассмотрим следующую ситуацию.

Предположим, у нас есть равносторонний треугольник ABC, где все стороны равны между собой (AB = BC = AC) и точка M - это точка пересечения его медиан. Пусть точка M разделяет каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. То есть, AM = 2 * MB, BM = 2 * MC и CM = 2 * MA.

Чтобы доказать это, давайте рассмотрим свойства медиан равностороннего треугольника:

1. Медиана делит сторону треугольника, к которой она проведена, пополам.
2. Точка пересечения медиан равностороннего треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

По свойству (1) мы знаем, что точка M делит стороны треугольника AB, BC и AC пополам, т.е. AM = MB, BM = MC и CM = MA.

Теперь рассмотрим медиану AM. По свойству (2) мы знаем, что точка M делит AM в отношении 2:1, считая от вершины. Это означает, что AM = 2 * MB.

Таким образом, мы пришли к тому же результату, что исходно предположили. Точно так же можно доказать для медиан BM и CM.

Таким образом, доказано, что медианы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1 считая от вершины.