Question

СРОЧНО! 15 Б! Через середину отрезка проведена прямая. Докажите что концы отрезка равноудалены от этой прямой. (Подробно!! Плизз)

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Хорошо, давайте докажем это утверждение.

Предположим, у нас есть отрезок AB, и через его середину (обозначим её точкой M) проведена прямая l. Нам нужно доказать, что точки A и B равноудалены от прямой l.

Для начала вспомним определение точки середины отрезка: точка M является серединой отрезка AB, если она делит этот отрезок пополам, то есть расстояние от A до M равно расстоянию от M до B. Обозначим длину отрезка AM и MB через a, то есть AM = MB = a.

Давайте предположим, что точки A и B не равноудалены от прямой l. Тогда пусть расстояние от точки A до прямой l будет больше расстояния от точки B до этой же прямой. Обозначим расстояние от A до прямой l через d1 и расстояние от B до прямой l через d2. Таким образом, у нас имеется следующее:

d1 > d2

Теперь рассмотрим следующий случай: проведем перпендикуляры от точек A и B к прямой l, обозначим их длины через h1 и h2 соответственно. Поскольку точка M находится на прямой l, перпендикуляры AM и BM равны между собой, так как они являются высотами равнобедренного треугольника AMB. Итак, у нас получается:

h1 = h2

Теперь давайте рассмотрим треугольники AMX и BMX, где X - точка пересечения перпендикуляров из A и B на прямую l. Эти треугольники являются прямоугольными, так как у них есть прямой угол (из-за перпендикуляров) и два равных катета (AM = MB = a). Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для обоих треугольников:

AM^2 + MX^2 = AX^2 BM^2 + MX^2 = BX^2

Так как AM = MB = a и h1 = h2, то MX равно просто половине отрезка AB, обозначим его как a/2. Теперь давайте запишем уравнения для AX и BX:

AX^2 = a^2 + (a/2)^2 BX^2 = a^2 + (a/2)^2

Упростим выражения:

AX^2 = a^2 + a^2/4 BX^2 = a^2 + a^2/4

Теперь, давайте рассмотрим разницу между этими выражениями:

BX^2 - AX^2 = (a^2 + a^2/4) - (a^2 + a^2/4) = 0

Таким образом, получается, что BX^2 равно AX^2, что означает, что расстояние от точки B до прямой l равно расстоянию от точки A до этой же прямой:

d2 = d1

Однако мы предположили ранее, что d1 > d2, что приводит к противоречию. Следовательно, наше предположение было неверным, и точки A и B должны быть равноудалены от прямой l.

Таким образом, мы доказали, что концы отрезка равноудалены от прямой, если через его середину проведена прямая.