Question

О - точка перетину діагоналей трапеції ABCD з основами AD і BC; BO=6 см, OD=9 см. Знайдіть довжину меншої з основ трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 10 см

Answer 1

Дано: АВСД - трапеція, АС і ВД - діагоналі, ВО=6 см, ОД=9 см, КР - середня лінія, КР=10 см. 
Знайти ВС.

Трикутники ВОС і АОД  подібні за двома кутами, ∠DAO=∠BCO (як внутрішні навхрест лежачі при AD ∥ BC і січній AC). 
6\9=ВС\АД
2\3=ВС\АД
ВС=2х; АД=3х.
За формулою середньої лінії
(2х+3х):2=10
5х=20; х=4.
ВС=4*2=8 см.
Відповідь: 8 см.

Answer 2

Давайте позначимо точку перетину діагоналей трапеції ABCD як точку O, а середню лінію трапеції - точку M.

Так як O - точка перетину діагоналей, то O ділить кожну діагональ на дві рівні частини. Тобто, AO = OD = 9 см і BO = OC = 6 см.

Тепер звернімо увагу на трикутник BMO, де BM - середня лінія трапеції, а BO і MO - медіани цього трикутника (половини сторін трикутника, що проведені до середини протилежних сторін).

Знаючи, що медіана ділить сторону трикутника пополам, можемо записати:

BO = MO = 6 см (з BO=6 см)

Також відомо, що довжина середньої лінії BM дорівнює 10 см:

BM = 10 см

Тепер з рівності трикутників BMO і ADO маємо:

AO = MO + AM 9 см = 6 см + AM

Звідси знаходимо AM:

AM = 9 см - 6 см = 3 см

Тепер знаємо, що довжина лінії AM (це одна з основ трапеції) дорівнює 3 см. Знайдемо іншу основу трапеції.

Довжина основи трапеції дорівнює сумі довжин діагоналей поділених на 2:

AB = (AO + BO) / 2 AB = (9 см + 6 см) / 2 AB = 15 см / 2 AB = 7.5 см

Таким чином, довжина меншої з основ трапеції ABCD дорівнює 7.5 см.