Question

Две окружности, расстояние между центрами которых равно 21, а радиусы равны 13 и 20, пересекаются в точках P и Q. На меньшей из этих окружностей взята точка L так, что прямая LQ касается большей окружности. Найдите площадь треугольника LPQ. Помогите решить, пожалуйста!) Желательно с рисунком. Даю 50 баллов.

Answer 1

∪PQ - дуга окружности c центром B (большей)
∪PQ' - дуга окружности c центром A

△APB=△AQB (по трем сторонам)
∠ABP=∠ABQ, ∠PAB=∠QAB

Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой хордой.
∠LQP=∪PQ/2
Центральный угол равен дуге, на которую опирается.
∠PBQ=∪PQ
∠ABQ=∠PBQ/2 =∪PQ/2 =∠LQP

∠PAQ=∪PQ'
∠QAB=∠PAQ/2=∪PQ'/2
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
∠PLQ=∪PQ'/2=∠QAB

△LPQ~△AQB (по двум углам)

△PBQ - равнобедренный, BH - биссектриса, высота, медиана.
PQ⊥AB, PH=QH

AB=21, QA=13, QB=20
По формуле Герона
p= (13+20+21)/2 =27
S(AQB)= √(p(p-a)(p-b)(p-c)) =√(27*14*7*6) =3*3*7*2 =126

S(AQB)=AB*QH/2 <=> 126=21*QH/2 <=> QH=12
PQ=2QH =24

k=PQ/QB =24/20 =1,2

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
S(LPQ)= S(AQB)*k^2 =126*1,44 =181,44

Answer 2

Хорошо, давайте решим эту задачу. Начнем с построения рисунка, чтобы лучше визуализировать ситуацию.

1. Нарисуем две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами r1 и r2.
2. Найдем точки пересечения P и Q.
3. Нарисуем точку L на меньшей окружности.
4. Проведем прямую LQ, которая касается большей окружности в точке Q.

Давайте рассмотрим каждый шаг более подробно:

1. Построение окружностей:

Пусть O1 и O2 - центры окружностей, r1 = 13 - радиус меньшей окружности, и r2 = 20 - радиус большей окружности. Расстояние между центрами окружностей равно 21.

Для начала, нарисуем две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами 13 и 20 соответственно:

cssCopy code
  O1 (радиус 13)
    ●
               \
                 \
                  \
                   ● P
                  / \
                 /   \
  O2 (радиус 20)     ● Q

2. Нахождение точек пересечения P и Q:

Так как расстояние между центрами окружностей равно 21, а радиусы окружностей 13 и 20, то окружности пересекаются в двух точках. Пусть эти точки пересечения будут P и Q:

cssCopy code
  O1 (радиус 13)
    ●        Q
   / \       |
  /   \      |
 /     \     |
●-------● P
 \     /
  \   /
   \ /
  O2 (радиус 20)

3. Выбор точки L:

На меньшей окружности (с радиусом 13) выберем точку L:

cssCopy code
  O1 (радиус 13)
    ●        Q
   / \       |
  /   \      |
 /  L  \     |
●-------● P
 \     /
  \   /
   \ /
  O2 (радиус 20)

4. Построение прямой LQ, касающейся большей окружности:

Прямая LQ должна быть перпендикулярна радиусу большей окружности, и её длина должна равняться радиусу этой окружности (20). Так как Q - точка касания, то прямая LQ проходит через центр O2:

cssCopy code
  O1 (радиус 13)
    ● Q
   /|
  / |
 /  |  L
●-------● P
 \     /
  \   /
   \ /
  O2 (радиус 20)

Теперь, чтобы найти площадь треугольника LPQ, мы можем использовать формулу для площади треугольника по трем сторонам (формула Герона) или формулу для площади треугольника через полупериметр и радиус описанной окружности (формула радиуса описанной окружности).

Для использования формулы Герона, нам нужно найти длины сторон треугольника LPQ. Но давайте рассмотрим более простой способ, используя формулу для площади треугольника через полупериметр и радиус описанной окружности.

Пусть R - радиус описанной окружности треугольника LPQ. Тогда радиус R равен 20 (равен радиусу большей окружности).

Теперь, площадь треугольника LPQ равна S = (1/2) * LP * LQ, где LP и LQ - длины сторон треугольника, соответствующие радиусу R.

Площадь треугольника LPQ = (1/2) * R * R = (1/2) * 20 * 20 = 200 квадратных единиц (предполагая, что единицы измерения радиусов и площади одинаковы).

Таким образом, площадь треугольника LPQ равна 200 квадратных единиц.