Question

Даны вершины треугольника А(1;1), В (4;1), С(4;5). Найдите косинусы углов треугольников

Answer 1

AB² = (4-1)² + (1-1)² = 3² = 9
AC² = (4-1)² + (5-1)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
ВC² = (4-4)² + (5-1)² = 4² = 16
Теорема косинусов для угла С
АВ² = АС² + ВС² - 2*АС*ВС*cos(∠C)
cos(∠C) = (AC² + ВС² - AB²) / (2*АС*ВС)
cos(∠C) = (25 + 16 - 9) / (2*5*4)
cos(∠C) = 32 / (2*5*4) = 4/5
cos(∠А) = (AВ² + АС² - BС²) / (2*АВ*АС)
cos(∠А) = (9 + 25 - 16) / (2*3*5)
cos(∠А) = 18 / (2*3*5) = 3/5
cos(∠В) = (AВ² + ВС² - АС²) / (2*АВ*ВС)
cos(∠В) = (9 + 16 - 25) / (2*3*4)
cos(∠В) = 0 / (2*3*4) = 0

Answer 2

Для того чтобы найти косинусы углов треугольника, можно воспользоваться формулами из тригонометрии. Для каждого угла треугольника, косинус выражается как отношение длины прилежащего катета к гипотенузе. В данном случае, чтобы найти косинусы углов, нужно вычислить длины сторон треугольника.

Для нахождения длины сторон треугольника используется формула расстояния между двумя точками на плоскости:

Для стороны AB: d_AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²)

Для стороны BC: d_BC = √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)²)

Для стороны AC: d_AC = √((x_C - x_A)² + (y_C - y_A)²)

Где (x_A, y_A), (x_B, y_B) и (x_C, y_C) - координаты вершин треугольника A, B и C соответственно.

Теперь, зная длины сторон, можно найти косинусы углов:

Косинус угла A: cos(A) = (d_AB² + d_AC² - d_BC²) / (2 * d_AB * d_AC)

Косинус угла B: cos(B) = (d_AB² + d_BC² - d_AC²) / (2 * d_AB * d_BC)

Косинус угла C: cos(C) = (d_BC² + d_AC² - d_AB²) / (2 * d_BC * d_AC)

Подставляя координаты вершин треугольника в формулы, можно вычислить косинусы углов. Давайте это сделаем:

1. Вычислим длины сторон:

AB: d_AB = √((4 - 1)² + (1 - 1)²) = √(3²) = 3

BC: d_BC = √((4 - 4)² + (5 - 1)²) = √(4²) = 4

AC: d_AC = √((4 - 1)² + (5 - 1)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

2. Теперь найдем косинусы углов:

Косинус угла A: cos(A) = (3² + 5² - 4²) / (2 * 3 * 5) = (9 + 25 - 16) / 30 = 18 / 30 = 0.6

Косинус угла B: cos(B) = (3² + 4² - 5²) / (2 * 3 * 4) = (9 + 16 - 25) / 24 = 0 / 24 = 0

Косинус угла C: cos(C) = (4² + 5² - 3²) / (2 * 4 * 5) = (16 + 25 - 9) / 40 = 32 / 40 = 0.8

Таким образом, косинусы углов треугольника ABC равны:

cos(A) = 0.6 cos(B) = 0 cos(C) = 0.8