Question

Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведению к основанию, на отрезки, длины которых равны 5см и 13см. Найдите периметр треугольника.

Answer 1

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны.

y=√(13^2 -5^2) =12 (см)

(x+y)^2= (13+5)^2 +x^2 <=>
x^2 +24x +12^2 =18^2 +x^2 <=>
x= (18^2-12^2)/24 =6*30/24 =7,5 (см)

P= 2(2x+y) =2(15+12) =54 (см)

Answer 2

Дано: ΔАВС

АВ=ВА

(О; r) - вписанная окр.

ВМ⊥АС

ВО=13 см

ОК= r = 5 см

Найти: Р ΔАВС

1) Из прямоугольного ΔВОК по теореме Пифагора 

ВК² = ВО² - ОК²

ВК² = 13²- 5² =169-25=144

ВК=√144 = 12 см

 

2) ∆ОВК~∆МВС (подобен), т.к. оба прямоугольные с общим углом ∠МВС.

 Соответственные стороны пропорциональны: 

ВМ : МС = ВК : ОК

 18 : МС = 12 : 5

МС =18 · 5:12 = 7,5 см

АС = 2 · МС = 2·7,5 = 15 см.

 

3) По теореме Пифагора из ∆ВМС найдем ВС.

ВС² = ВМ² + МС²

ВС² = 18² + 7,5² = 324 + 56,25 = 380,25

ВС=√380,25 = 19,5 см

 

4) АВ = ВС = 19,5 см

АС = 15 см

 

Р= АВ+ВС+АС

Р = 2*19,5 + 15 = 54 см

Ответ: 54 см

 

Answer 3

Пусть равнобедренный треугольник ABC имеет основание BC и высоту, проведенную из вершины A, обозначим её H. Точка O - центр окружности, вписанной в треугольник ABC, и она касается сторон AB, BC и CA в точках D, E и F соответственно.

Так как окружность вписана в треугольник, то длины отрезков AD, BE и CF равны радиусу окружности.

Пусть x - длина отрезка AD, а y - длина отрезка HD. Тогда:

HD + AD = 13 (1) (так как сумма отрезков HD и AD равна высоте H, которая равна 13 см)

AD + BD = 5 (2) (так как сумма отрезков AD и BD равна стороне AB, которая равна 5 см)

Из уравнения (1) можно найти HD: HD = 13 - x.

Из уравнения (2) можно найти BD: BD = 5 - x.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то BD = DC (где С - середина стороны AB).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. По теореме Пифагора:

BH^2 = HD^2 + BD^2.

Заменим HD и BD и решим уравнение относительно x:

BH^2 = (13 - x)^2 + (5 - x)^2.

BH^2 = 169 - 26x + x^2 + 25 - 10x + x^2.

BH^2 = 194 - 36x + 2x^2.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то BH равно половине основания BC (так как H - середина стороны BC). Пусть BC = 2a, тогда BH = a.

Теперь можем записать уравнение:

a^2 = 194 - 36x + 2x^2. (3)

Также, из равенства a = HD + x (так как H - середина стороны BC), можем записать:

a = 13 - x + x.

a = 13.

Теперь можем решить уравнение (3):

13^2 = 194 - 36x + 2x^2.

169 = 194 - 36x + 2x^2.

Переносим все в левую часть уравнения:

2x^2 - 36x + 25 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac.

D = (-36)^2 - 4 * 2 * 25.

D = 1296 - 200.

D = 1096.

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a.

x = (36 ± √1096) / 4.

x = (36 ± 2√274) / 4.

x = 9 ± √274.

Так как длины отрезков AD и BD не могут быть отрицательными, то берем только положительные значения:

x = 9 + √274.

Теперь можем найти длину стороны AB:

AB = AD + BD.

AB = (9 + √274) + (5 - 9 + √274).

AB = 9 + √274 + √274 - 4.

AB = 2√274 + 5.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то его периметр равен:

P = AB + BC + AC.

Так как BC = 2a = 2 * 13 = 26 (мы уже нашли ранее), а AC = AB (так как треугольник равнобедренный):

P = 2√274 + 5 + 26 + 2√274 + 5.

P = 4√274 + 36.

Таким образом, периметр треугольника ABC равен 4√274 + 36 см.