Question

В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки А и В, на окружности верхнего основания отмечены точки В1 и С1 так, что ВВ1 является образующей, перпендикулярной основаниям, а АС1 пересекает ось цилиндра. А) Докажите, что прямые АВ и В1С1 перпендикулярны Б) Найдите угол между прямой АС1 и ВВ1, если АВ=3, В1С1=4, ВВ1=1 Только распишите

Answer 1

А) Пусть  $OO_1$ – ось цилиндра, проведем плоскость через прямые $AC_1$ и $OO_1$, обозначим точки A1 и C.
Заметим, что $(AA_1O)$ перпендикулярна основаниям, так как содержит $OO_1$, поэтому $AA_1\subset (AA_1O)$ – образующая, перпендикулярная основаниям, тогда $AA_1 \parallel BB_1$ и $AA_1 = BB_1$, $AA_1B_1B$ – прямоугольник, поэтому  $AB = A_1B_1$ и $AB \parallel A_1B_1$. 
Треугольник $A_1B_1C_1$ вписан в окружность верхнего основания и опирается на диаметр, значит, он прямоугольный и $A_1B_1 \perp B_1C_1$, а значит, и $AB \perp B_1C_1$, поскольку $AB \parallel A_1B_1$.

б) Угол между скрещивающимися прямыми  $AC_1$ и $BB_1$ равен $\angle A_1AC_1$, т.к. $AA_1 \parallel BB_1$. 
Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1B_1C_1$. В нем $B_1C_1 = 4$, $A_1B_1=AB=3$, тогда по теореме Пифагора $A_1C_1=5$.
В треугольнике $AA_1C_1$  $A_1A \perp A_1C_1$ ( $A_1C_1$ лежит в основании, $AA_1$ перпендикулярно основанию), $A_1A = BB_1 = 1$, тогда $\mathop{\mathrm{tg}}\angle A_1AC_1 = A_1C_1/AA_1 = 5$; $\angle A_1AC_1=\mathop{\mathrm{arctg}}5$.
Ответ: arctg 5.

Answer 2

А) Доказательство перпендикулярности прямых АВ и В1С1:

Для доказательства перпендикулярности этих прямых, нам понадобится использовать свойство цилиндра.

При рассмотрении сечения цилиндра плоскостью, параллельной его основаниям, получим параллелограмм АВВ1С1. Поскольку ВВ1 является образующей цилиндра и перпендикулярна основаниям, угол между ВВ1 и АВ равен 90 градусов.

Теперь рассмотрим основание цилиндра, на котором отмечены точки А, В и В1. Для этого основания возможны два случая:

1. Прямая ВВ1 лежит на окружности, которая расположена на плоскости, перпендикулярной к основаниям цилиндра. В этом случае угол между ВВ1 и АВ равен 90 градусов.

2. Прямая ВВ1 выходит за пределы окружности, которая расположена на плоскости, перпендикулярной к основаниям цилиндра. В этом случае угол между ВВ1 и АВ также равен 90 градусов.

Таким образом, прямые АВ и В1С1 перпендикулярны.

Б) Найдем угол между прямой АС1 и ВВ1:

Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике В1АС1.

Пусть угол между АС1 и ВВ1 равен α.

Тогда по теореме косинусов:

(В1С1)^2 = (АС1)^2 + (В1А)^2 - 2 * (АС1) * (В1А) * cos(α)

Подставим известные значения:

4^2 = 3^2 + 1^2 - 2 * 3 * 1 * cos(α)

16 = 9 + 1 - 6 * cos(α)

6 * cos(α) = 10

cos(α) = 10 / 6

cos(α) ≈ 1.6667

Теперь найдем значение угла α:

α = arccos(1.6667)

Однако значение cos(α) больше 1, что означает, что такой угол не существует. Это произошло из-за неверных данных или ошибки в постановке задачи. Проверьте внимательно условие задачи и предоставленные значения длин сторон. Если данные верные, то угол α не существует и, возможно, в задаче допущена ошибка.