Question

В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки А и В, на окружности верхнего основания отмечены точки В1 и С1 так, что ВВ1 является образующей, перпендикулярной основаниям, а АС1 пересекает ось цилиндра. А) Докажите, что прямые АВ и В1С1 перпендикулярны Б) Найдите угол между прямой АС1 и ВВ1, если АВ=3, В1С1=4, ВВ1=1 Только распишите!

Answer 1

Если площади не нужны, просто не смотрите их

Answer 2

А) Чтобы доказать, что прямые АВ и В1С1 перпендикулярны, нужно показать, что угол между ними равен 90 градусов. Рассмотрим треугольник АВВ1. Он является прямоугольным, так как ВВ1 является образующей цилиндра и перпендикулярна основаниям. Угол АВВ1 равен 90 градусов. Также заметим, что угол В1С1А равен 90 градусов, так как АС1 пересекает ось цилиндра. Тогда угол между прямыми АВ и В1С1 равен сумме углов АВВ1 и В1С1А, то есть 90+90=180 градусов. Но это невозможно, так как угол между прямыми не может быть больше 90 градусов. Следовательно, прямые АВ и В1С1 перпендикулярны.

Б) Найдем угол между прямой АС1 и ВВ1 с помощью теоремы косинусов в треугольнике АВВ1. Обозначим угол между прямыми АС1 и ВВ1 через α. Тогда:

AB² = AV² + VB² = 3² + r² (где r - радиус основания цилиндра)

B1C1² = BC² + B1B² = (2r)² + 1² = 4r² + 1

BB1² = r² + 1² = r² + 1

По теореме косинусов:

cos(α) = (AB² + BB1² - B1C1²) / (2AB * BB1)

cos(α) = (3² + r² + r² + 1 - 4r² - 1) / (2 * 3 * sqrt(r² + 1))

cos(α) = (2r² + 2) / (6 * sqrt(r² + 1))

cos(α) = (r² + 1) / (3 * sqrt(r² + 1))

Таким образом, угол между прямыми АС1 и ВВ1 равен:

α = arccos[(r² + 1) / (3 * sqrt(r² + 1))]