Question

Биссектрисы углов А и В трапеции АВСD с основаниями AD и ВС пересекаются в точке К. Докажите, что точка К равноудалена от прямых АВ, ВС и AD.

Answer 1

Решение в прикреплённых изображениях

Answer 2

Биссектриса - геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла. Точка K лежит на биссектрисе угла ABC, следовательно равноудалена от сторон AB и BC. Точка K лежит на биссектрисе угла BAD, следовательно равноудалена от сторон AB и AD. Точка K равноудалена от сторон AB, BC, AD.

ИЛИ

Опустим перпендикуляры KH1, KH2, KH3 на стороны AB, BC, AD соответственно. Треугольники KBH1 и KBH2 равны по острому углу и общей гипотенузе, KH1=KH2. Аналогично KH1=KH3.
KH1=KH2=KH3, точка K равноудалена от сторон AB, BC, AD.

Answer 3

Для доказательства равноудаленности точки К от прямых АВ, ВС и AD, нужно показать, что расстояние от точки К до каждой из этих прямых одинаково. Для этого рассмотрим следующие шаги:

1. Обозначим точку пересечения биссектрис углов А и В за К, а точки пересечения биссектрис углов С и D за М.

2. По определению биссектрисы угла, точка К делит углы А и В пополам, а точка М делит углы С и D пополам.

3. Из свойств трапеции следует, что углы А и В, а также углы С и D, смежные и дополнительные друг другу (дополнительные углы, образованные прямой и двумя пересекающимися прямыми).

4. Следовательно, углы АКМ и ВКМ равны между собой, а также углы СКМ и ДКМ равны между собой.

5. Так как углы АКМ и СКМ равны, то треугольник АКМ равнобедренный, и это означает, что отрезок АК равен отрезку СК.

6. Аналогично, так как углы ВКМ и ДКМ равны, треугольник ВКМ также равнобедренный, и отрезок ВК равен отрезку КМ.

Таким образом, мы показали, что точка К равноудалена от прямых АВ, ВС и AD, так как отрезки АК, ВК и КМ равны между собой.