Question

Через точку А сферы с центром в точке О проведены две касательные, образующие угол в 30°. На этих касательных отмечены точки M и N так,что MN⊥AN. Найдите градусную меру угла между плоскостями ANO и MNO. помогите пж срочно надо

Answer 1

Определения: "Плоскость, имеющая с шаровой поверхностью лишь одну общую точку, называется касательной плоскостью, а общая точка - точка касания. Плоскость , проведенная через конец радиуса, лежащего на сфере, перпендикулярно радиусу, есть касательная плоскость".
В нашем случае плоскость MAN - касательная плоскость. Она перпендикулярна радиусу АО сферы.
Итак, АО⊥плоскости MAN, значит АО перпендикулярна ЛЮБОЙ прямой в плоскости MAN. Следовательно, АО ⊥ MN.
MN ⊥ AN (дано), MN ⊥ AO, а АО и AN - скрещивающиеся прямые.
Следовательно, прямая MN перпендикулярна плоскости ANО, так как она
перпендикулярна двум скрещивающимся прямым, лежащим в плоскости ANO.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Значит плоскость MNO, проходящая через прямую MN, перпендикулярна
плоскости ANO, то есть угол между этими плоскостями равен 90°.
Ответ: угол между плоскостями ANO и MNO равен 90°.

Решение этой задачи координатным методом.
Заметим, что точки M и N на касательных АМ и AN связаны между собой
только условием MN⊥AN, следовательно, отрезки АN и AM могут быть
произвольной длины. Радиус сферы не дан, примем его равным 1.
Поместим начало координат в центр сферы - точку О.

Вариант1. Пусть AN=AO=R=1. Тогда из треугольника AMN:
АМ=AN/Cos30=1*2/√3 = 2√3/3. Это координата Хm точки М.
NM=√3/3 (катет против угла 30 градусов).
NH - высота из прямого угла и по свойству такой высоты
NH=AN*NM/AM = (1*√3*3)/(3*2√3) = 1/2.
Заметим, что NН - координата Yn точки N.
Координату Xn=AH точки N найдем по Пифагору:
Xn=√(AN²-NH²) =  √(1-1/4) = √3/2.
Итак, мы имеем координаты всех необходимых точек:
O(0;0;0), A(0;0;1), M(2√3/3;0;1), N(√3/2;1/2;1).
Запишем уравнение плоскости OAN(ANO) по формуле:
|x-Xo Xa-Xo Xn-Xo|
|y-Yo Ya-Yo Yn-Yn| = 0.
|z-Zo Za-Zo Zn-Zo|
Имеем:
|x-0 0 √3/2|
|y-0 0  1/2| = 0. => x(-1/2) -y(-√3/2)+z*0 =0 или
|z-0 1   1 |
(1/2)x-(√3/2)y-z=0 - общее уравнение плоскости ANO с коэффициентами
А1=1/2, B1=-√3/2, C1=0.
Запишем уравнение плоскости ONM(MNO):
|x-0 2√3/3 √3/2|
|y-0    0       1/2| = 0. => x*(-1/2) -y*(2√3/3-√3/2)+z*(2√3/6)=0 или
|z-0    1         1 |
(1/2)x+(√3/6)y-z(2√3/6)=0 - общее уравнение плоскости MNO с коэффициентами
А2=1/2, B2=√3/6, C2=2√3/6.
Формула косинуса угла между плоскостями:
Cosα = |A1*A2+B1*В2+C1*C2|/((√(A1²+B1²+C1²)*(A2²+B2²+C2²).
В нашем случае:
Cosα = |1/4-1/4+0|/((√(A1²+B1²+C1²)*(A2²+B2²+C2²)=0, так как числитель равен 0.
Ответ: α = 90°.

Вариант2. Пусть AМ=AO=R=1. Тогда из треугольника AMN:
АМ=1. Это координата Xm точки М.
MN=1/2 (катет против угла 30 градусов).
Cos30 = AN/AM=√3/2. => AN=√3/2.
Заметим, что NН - координата Yn точки N.
NH=AN*NM/AM = (√3/2)*(1/2)*1=√3/4.
Координату Xn=AH точки N найдем по Пифагору:
Xn=√(AN²-NH²) =  √(3/4-3/16) = √(9/16) = 3/4.
Точки:
O(0;0;0), A(0;0;1), M(1;0;1), N(3/4;√3/4;1).
Запишем уравнение плоскости ONA(ANO):
|x-0  3/4  0|
|y-0 √3/4 0| = 0. => x(√3/4) -y(3/4)+z*0 =0.
|z-0   1    1|
Это общее уравнение плоскости ANO с коэффициентами
А1=√3/4, B1=-3/4, C1=0.
Запишем уравнение плоскости ONM(MNO):
|x-0   3/4  1|
|y-0  √3/4 0| = 0. => x*(√3/4) -y*(3/4-1)+z*(-√3/4)=0 или
|z-0    1    1|
(√3/4)x+(1/4)y-z(√3/4)=0 - общее уравнение плоскости MNO с коэффициентами
А2=√3/4, B2=1/4, C2=-√3/4.
Формула косинуса угла между плоскостями:
Cosα = |3/16-3/16+0|/((√(A1²+B1²+C1²)*(A2²+B2²+C2²)=0,
так как числитель равен 0.
Ответ: α = 90°.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся основными свойствами касательных к сфере и сферических треугольников.

Обозначим точку пересечения касательных MNO как точку P, а точку пересечения касательной MN и сферы (точку касания) как точку Q.

Из условия задачи у нас есть следующие углы:

1. Угол MON (угол между касательной MO и радиусом ON сферы) равен 90° (потому что касательная перпендикулярна радиусу в точке касания).
2. Угол MOQ (угол между касательной MO и радиусом OQ сферы) равен 30° (потому что дано, что угол между касательными равен 30°).

Так как у нас есть прямоугольный треугольник MON, можем применить тригонометрию:

sin(OMQ) = OQ / MO sin(30°) = OQ / MO 1/2 = OQ / MO

Также, так как у нас есть равнобедренный треугольник MNO (OM = ON), можем выразить OQ через MO:

OQ = MO / 2

Из того, что у нас уже есть про прямоугольный треугольник MON:

cos(MOQ) = OQ / MN cos(30°) = (MO / 2) / MN √3/2 = (MO / 2) / MN √3 = MO / MN MN = MO / √3

Теперь обратимся к треугольнику MPN:

cos(MPN) = MN / MP cos(MPN) = (MO / √3) / MP

Также, можем использовать равнобедренный треугольник MNO:

cos(MNO) = ON / MO cos(MNO) = (MO / √3) / MO cos(MNO) = 1 / √3

Теперь, найдем угол MPN:

cos(MPN) = 1 / √3 MPN = arccos(1 / √3) MPN ≈ 54.74°

Так как мы искали градусную меру угла между плоскостями ANO и MNO, а угол MPN находится в плоскости MNO, ответ равен 54.74°.