Question

СРОЧНООООО основою піраміди є трикутник зі сторонами 12 та 20 і кутом між ними 120.Усі бічні ребра утворюють з площиною основи кут 30.Знайти обєм піраміди

Answer 1

--- 1 ---
Площадь основания 
S = 1/2*12*20*sin(120°) = 120*√3/2 = 60√3
--- 2 ---
Неизвестная сторона по теореме косинусов
a² = 144 + 400 - 480*(-1/2)
a² = 544 + 240 = 784
a = √784 = 28
--- 3 ---
Наклон всех рёбер равный, значит, высота пирамиды опирается на центр описанной окружности.
Радиус описанной окружности по теореме синусов
2R = a/sin(∠A)
2R = 28/sin(120°)
R = 14/(√3/2) = 28/√3 = 28√3/3
--- 4 ---
Высота пирамиды h как вертикальный катет, радиус описанной окружности R как горизонтальный катет и ребро как гипотенуза образуют прямоугольный треугольник, с углом между радиусом и ребром в 30°
h/R = tg(30°)
h = R/√3 = 28√3/3/√3 = 28/3
--- 5 ---
Объём
V = 1/3*S*h = 1/3*60√3*28/3 = 20√3*28/3 = 560/√3

Answer 2

Для знаходження об'єму піраміди, ми можемо використати формулу:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основи}} \times h,$

де $S_{\text{основи}}$ - площа основи піраміди, $h$ - висота піраміди.

Спочатку знайдемо площу основи $S_{\text{основи}}$.

Для цього можемо скористатися формулою площі трикутника за сторонами та кутом між ними:

$S_{\text{основи}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C,$

де $a = 12$, $b = 20$ - сторони трикутника, $C = 120^\circ$ - кут між сторонами.

$S_{\text{основи}} = \frac{1}{2} \times 12 \times 20 \times \sin 120^\circ.$

Радіани тут можна перевести в градуси:

$\sin 120^\circ = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

$S_{\text{основи}} = \frac{1}{2} \times 12 \times 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3}.$

Тепер нам потрібно знайти висоту піраміди, тобто довжину бічного ребра піраміди.

В трикутнику, утвореному бічним ребром, площина основи та центром основи, у нас є прямокутний трикутник. Одна з гострих кутів цього трикутника - 30 градусів, а гіпотенуза - бічне ребро піраміди.

$\cos 30^\circ = \frac{\text{прилеглий катет}}{\text{гіпотенуза}}.$

Знаючи, що $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, знаходимо довжину бічного ребра:

$\text{бічне ребро} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}.$

Тепер можемо знайти висоту піраміди. Для цього використаємо теорему Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного висотою, половиною одного бічного ребра та половиною основи:

$h^2 = \left(\frac{20\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2 = \frac{400}{3} - 36 = \frac{328}{3}.$

$h = \sqrt{\frac{328}{3}} = \frac{2\sqrt{82}}{3}.$

Тепер можемо знайти об'єм піраміди:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основи}} \times h = \frac{1}{3} \times 60\sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{82}}{3} = 40\sqrt{246}.$