Question

В прямоугольном треугольнике ABC ( угол C =90°, угол A=30°) проведена биссектриса BM. Сравните отрезки CM и MA.

Answer 1

СМ=МА.

∠В=60°, ∠АВМ=60:2=30°
ΔАМВ - равнобедренный, АМ=МВ.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам необходимо найти соотношение между отрезками CM и MA.

Пусть длина стороны треугольника AB равна a. Тогда, поскольку угол A равен 30°, а угол C равен 90°, длина стороны AC (отрезка CM) равна acos(30°) = a(√3/2) = a*√3/2.

Теперь, чтобы найти длину стороны BC (отрезка BM), мы можем использовать теорему синусов для треугольника ABC:

sin(A) = BC / AB

где A = угол A, BC = отрезок BM и AB = a.

Подставляя известные значения:

sin(30°) = BC / a

1/2 = BC / a

BC = a/2

Таким образом, длина стороны BC (отрезка BM) равна a/2.

Теперь у нас есть два катета прямоугольного треугольника BCM (потому что MB – биссектриса), и мы можем применить теорему Пифагора:

BC^2 + CM^2 = BM^2

(a/2)^2 + CM^2 = a^2

a^2/4 + CM^2 = a^2

CM^2 = a^2 - a^2/4

CM^2 = (4a^2 - a^2)/4

CM^2 = 3a^2/4

Теперь, чтобы найти длину отрезка CM, возьмем квадратный корень от обеих сторон:

CM = √(3a^2/4)

CM = (a√3)/2

Теперь давайте рассмотрим отрезок MA. Поскольку M – это точка пересечения биссектрисы и высоты, то AM будет равна половине стороны AC:

MA = AC / 2

MA = (a√3/2) / 2

MA = (a√3) / 4

Теперь у нас есть выражения для длин отрезков CM и MA:

CM = (a√3) / 2 MA = (a√3) / 4

Теперь давайте сравним их:

CM : MA = ((a√3) / 2) : ((a√3) / 4)

Для упрощения дроби домножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:

CM : MA = ((a√3) / 2) : ((a√3) / 4) = (2(a√3)) / (a√3) = 2

Таким образом, отрезок CM в два раза длиннее отрезка MA в данном прямоугольном треугольнике.