Question

составьте уравнения плоскости проходящей через точку а , перпендикулярно прямой MN, если даны : А(2,1,0), М(3,-2,1), N(2,-3,0)

Answer 1

Даны : А(2,1,0), М(3,-2,1), N(2,-3,0).

Находим координаты направляющего вектора прямой NM:

NM: (1; 1; 1).

Принимаем координаты направляющего вектора прямой NM как соответствующие координаты нормального вектора n плоскости α :

n = (A; B; C). То есть, A = 1, B = 1, C = 1.

Записываем уравнение плоскости, проходящей через точку А(2; 1; 0) и имеющей нормальный вектор n(A; B; C), в виде:

A(x -x1) + B(y - y1) + C(z - x1) - это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Подставляем данные -

α: 1(x -2) + 1(y - 1) + 1z = x + y + z - 3 = 0.

Ответ: уравнение плоскости α: x + y + z - 3 = 0.

Answer 2

Для составления уравнения плоскости, проходящей через точку A(2, 1, 0) и перпендикулярной прямой MN, нам нужно найти нормальный вектор плоскости. Нормальный вектор плоскости будет перпендикулярен прямой MN и, следовательно, параллелен векторному произведению векторов MN и MA.

1. Найдем векторы MN и MA: Вектор MN = N - M = (2 - 3, -3 - (-2), 0 - 1) = (-1, -1, -1) Вектор MA = A - M = (2 - 3, 1 - (-2), 0 - 1) = (-1, 3, -1)

2. Найдем векторное произведение векторов MN и MA: Векторное произведение MN × MA = (i, j, k) где i, j, k - это компоненты вектора.

i = (-1) * 3 - (-1) * (-1) = -3 + 1 = -2 j = (-1) * (-1) - (-1) * (-1) = 1 - 1 = 0 k = (-1) * 3 - (-1) * (-1) = -3 - 1 = -4

Таким образом, векторное произведение MN × MA = (-2, 0, -4).

3. Теперь, зная нормальный вектор плоскости, мы можем записать уравнение плоскости в общей форме Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - компоненты нормального вектора, а x, y, z - координаты точки, через которую проходит плоскость (в данном случае точка A(2, 1, 0)).

Таким образом, уравнение плоскости будет:

-2x + 0y - 4z + D = 0

Подставим координаты точки A(2, 1, 0) в уравнение, чтобы найти D:

-2(2) + 0(1) - 4(0) + D = 0 -4 + D = 0 D = 4

Таким образом, окончательное уравнение плоскости:

-2x - 4z + 4 = 0.