Question

Найдите точку максимума функции: у=х^3-5х^2+7х-5. Помогите пожалуйста.

Answer 1

-------------------------------------------------

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции, сначала найдем производную функции и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем, проверим, являются ли эти точки точками максимума или минимума.

1. Найдем производную функции у = х^3 - 5х^2 + 7х - 5: у' = d(х^3 - 5х^2 + 7х - 5)/dx у' = 3х^2 - 10х + 7

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3х^2 - 10х + 7 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение, или применить дискриминант для определения количества корней. Рассмотрим оба метода:

Метод 1: Квадратное уравнение x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 3, b = -10, c = 7

x = (10 ± √((-10)^2 - 4 * 3 * 7)) / 2 * 3 x = (10 ± √(100 - 84)) / 6 x = (10 ± √16) / 6 x = (10 ± 4) / 6

Таким образом, получаем два значения для x: x₁ = (10 + 4) / 6 = 14 / 6 = 7/3 x₂ = (10 - 4) / 6 = 6 / 6 = 1

Метод 2: Дискриминант Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 3 * 7 = 100 - 84 = 16

Если дискриминант D > 0, уравнение имеет два различных вещественных корня. Если D = 0, уравнение имеет один корень (двойной). Если D < 0, уравнение не имеет вещественных корней.

Так как D > 0, у нас есть два различных вещественных корня: x = 7/3 и x = 1.

3. Теперь проверим, являются ли найденные точки x = 7/3 и x = 1 точками максимума или минимума. Для этого посмотрим на знак второй производной в этих точках.

Вторая производная у'' = d(3х^2 - 10х + 7)/dx у'' = 6х - 10

4. Подставим x = 7/3: у''(7/3) = 6 * (7/3) - 10 = 14 - 10 = 4 (положительное значение)

5. Подставим x = 1: у''(1) = 6 * 1 - 10 = 6 - 10 = -4 (отрицательное значение)

Если вторая производная положительна в точке, это указывает на то, что функция имеет локальный минимум в этой точке. Если вторая производная отрицательна, это указывает на наличие локального максимума.

Таким образом, функция имеет точку максимума при x = 7/3 (приближенное значение x ≈ 2.3333). В этой точке y = (7/3)^3 - 5 * (7/3)^2 + 7 * (7/3) - 5 ≈ 7.7778.

Итак, точка максимума функции у = х^3 - 5х^2 + 7х - 5 находится при x ≈ 2.3333, и значение в этой точке равно примерно 7.7778.