Question

Основанием 4-угольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB = 2 и AD = 3. Высота пирамиды длиной 12/√23 падает в точку пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. Плоскость проходит через точку A, параллельна прямой BD, касается шара радиуса 1 с центром в точке S и пересекает ребро SC. В каком отношении она делит это ребро?

Answer 1

Проведём осевое сечение через боковые рёбра SA и SC.

Половина диагонали АО = √(2² + 3²)/2 = √13/2.

Угол А = arc tg(H/AO) = (12/√23)/(√13/2) = 24/√299 ≈ 1,387955837 .

Этому тангенсу соответствует угол А = 0,946454578 радиан или 54,2278528°.

Угол при вершине равен 180 - 2∠А = 71,5442944°.

Найдём длину бокового ребра L.

L = √(H² + (√13/2)²) = √((144/23)+(13/4)) = √(875/92) = 5√35/(2√23).

Заданная плоскость рассечена секущей плоскостью по прямой АМ, где М - точка пересечения ребра SC.

Опустим перпендикуляр из точки S на отрезок АМ в точку К.

В прямоугольном треугольнике ASK определим угол ASK.

∠ASK = arc sin(1/L) = arc sin(2√23)/(5√35) ≈ 71,07940953°.

Как видим, угол между ребром SC и перпендикуляром к касательной к окружности R = 1 равен 0,464884873 градуса.

Расстояние между точками К и М равно 0,00811395 .

Поэтому с допустимой точностью можно принять, что окружность отсекает от ребра отрезок SM = 1.

Ответ: ребро SC делится заданной секущей плоскостью

в отношении 1 : 2,08.

.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся основными свойствами 4-угольной пирамиды.

Обозначим точку пересечения диагоналей прямоугольника ABCD как O. Таким образом, высота пирамиды SABCD, опущенная из вершины S, проходит через точку O.

Так как плоскость параллельна прямой BD и проходит через точку A, она также будет параллельна плоскости прямоугольника ABCD.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABO, где O - центр диагоналей прямоугольника ABCD, а AB и AD - стороны прямоугольника. Мы знаем, что AB = 2 и AD = 3.

Так как AO - медиана треугольника ABD, то по теореме о медиане мы можем найти длину медианы AO:

AO^2 = (AB^2 + AD^2) / 2 AO^2 = (2^2 + 3^2) / 2 AO^2 = (4 + 9) / 2 AO^2 = 13 / 2

AO = √(13/2)

Теперь мы знаем длину медианы AO, и можем найти её пропорцию в отношении высоты пирамиды. Обозначим точку пересечения ребра SC и плоскости как M.

По условию задачи высота пирамиды, опущенная из S, равна 12/√23. Обозначим эту высоту как h.

Теперь мы можем записать отношение длин отрезков SM и MC:

SM / MC = AO / h SM / MC = (√(13/2)) / (12/√23)

Теперь выполним вычисления:

SM / MC = (√(13/2)) * (√23 / 12) SM / MC = (√(13*23) / 2) * (1 / 12) SM / MC = √(299) / 24

Таким образом, плоскость делит ребро SC в отношении √299 : 24.