Question

Треугольник ABC со сторонами 10, 17 и 21, является основанием прямой призмы ABCA1B1C1 . Площадь основания призмы равна площади наименьшей боковой грани. Найдите объем призмы.

Answer 1

ДАНО: АВСА1В1С1 - прямая треугольная призма ; АВ = 10 ; ВС = 17 ; АС = 21 ; S abc = S ( наим. бок. грани )

НАЙТИ: V ( призмы )
_______________________

РЕШЕНИЕ:

1) Рассмотрим ∆ АВС :

Найдём площадь ∆ АВС по формуле Герона :

$s \: = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$
Где а, b, c - стороны треугольника ; р = ( a + b + c ) / 2 - полупериметр

$s \: = \sqrt{24(24 - 10)(24 - 17)(24 - 21)} = \\ \\ = \sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3} = \sqrt{6 \times 4 \times 7 \times 2 \times 7 \times 3} = \\ \\ = 6 \times 7 \times 2 = 84$

2) Так как все боковые грани данной призмы имеют одинаковую высоту, равную боковому ребру, то наименьшую площадь имеет та боковая грань, у которой наименьшее основание, то есть та, которая содержит наименьшую сторону ∆ АВС

Значит, грань АВВ1А1 - это наименьшая по площади грань призмы.

S abb1a1 = S abc = 84

3) Все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками =>

S abb1a1 = А1В1 × АА1

84 = 10 × АА1

АА1 = 84 : 10 = 8,4

4) V ( призмы ) = S abc × AA1

V ( призмы ) = 84 × 8,4 = 705,6

ОТВЕТ: V ( призмы ) = 705,6

Answer 2

Для начала, давайте найдем высоту призмы, которая соответствует высоте боковой грани.

Пусть h - высота призмы, а S - площадь наименьшей боковой грани (как и площадь основания).

Площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы Герона:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где a, b, c - длины сторон треугольника, а p - полупериметр треугольника, который вычисляется как (a + b + c) / 2.

Для треугольника ABC:

a = 10, b = 17, c = 21, p = (10 + 17 + 21) / 2 = 48 / 2 = 24.

Теперь вычислим площадь основания призмы:

S = √(24 * (24 - 10) * (24 - 17) * (24 - 21)) S = √(24 * 14 * 7 * 3) S = √(7056) S ≈ 84.

Так как площадь основания призмы равна площади наименьшей боковой грани, то:

S = 84.

Теперь можно найти объем призмы:

Объем = S * h.

Из условия известно, что основание призмы ABCA1B1C1 - треугольник ABC, а высота призмы совпадает с высотой этого треугольника. Так как треугольник ABC - прямоугольный, то его высота равна длине медианы, проведенной к гипотенузе. Для прямоугольного треугольника медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Из треугольника ABC гипотенуза это сторона c = 21, поэтому высота h равна:

h = 21 / 2 = 10.5.

Теперь можем найти объем призмы:

Объем = S * h Объем = 84 * 10.5 Объем ≈ 882 кубических единиц.