Question

Биссектрисы тупых углов при основании равносторонней трапеции делят ее большую основу на три равные часть и не пересекаются. Найдите отношение средней линии трапеции к ее меньшего основания, если градусные меры углов при основании равны 120 градусов

Answer 1

ABCD - трапеция, AB=CD, ∠ABC=120°, BE - биссектриса, AE= 1/3 AD

∠BCD=∠ABC=120° (углы при основании равнобедренной трапеции)

∠EBC=120°/2=60° (BE - биссектриса)

BE||CD (сумма внутренних односторонних углов 180°)

AD||BC (основания трапеции)

EBCD - параллелограмм (противоположные стороны параллельны)

BC=ED =AD-AE =2/3 AD

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

(AD+BC)/2 =(AD +2/3 AD)/2 =5/6 AD

5/6 AD : 2/3 AD = 5/4

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать свойства равносторонней трапеции.

Равносторонняя трапеция имеет две пары равных углов и две равные стороны. В данной задаче у нас есть угол при основании равный 120 градусов, что говорит о том, что другой угол при основании также равен 120 градусов.

Поскольку биссектрисы тупых углов трапеции делят ее большую основу на три равные части, это означает, что каждый из этих углов равен 60 градусов (120 градусов / 2). Теперь у нас есть следующая конфигурация углов:

60° - 120° - 60°

Давайте обозначим меньшее основание трапеции за "a", а большее основание - за "b".

Так как углы при основании трапеции равны, то она также является равнобедренной трапецией, и средняя линия (медиана) разделяет большее основание "b" на две равные части. Таким образом, длина средней линии равна b / 2.

Отношение средней линии к меньшему основанию "a" можно выразить как (b / 2) / a или b / 2a.

Таким образом, отношение средней линии к меньшему основанию равно b / 2a.

Зная, что у нас равносторонняя трапеция, мы можем связать меньшее основание "a" и большее основание "b" следующим образом:

a = b - 2h,

где "h" - высота равносторонней трапеции.

Для того чтобы выразить отношение средней линии к меньшему основанию в терминах только "b" и "h", нам нужно найти "h". Зная, что в равносторонней трапеции высота проходит посередине между основаниями, можем представить равенство:

b = 2h,

откуда

h = b / 2.

Теперь, используя это значение "h", можем выразить отношение средней линии к меньшему основанию только через "b":

b / 2a = b / 2(b - 2h) = b / 2(b - 2 * (b / 2)) = b / 2(b - b) = b / 2 * 0 = 0.

Таким образом, отношение средней линии трапеции к ее меньшему основанию равно 0.