Question

ДАМ 25 БАЛЛОВ Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, пересекаются в точке O, и известно, что AB+CD=AD+BC. докажите что тогда AO=OC или BO=OD

Answer 1

................................................................................................................

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте рассмотрим четырехугольник ABCD с перпендикулярными диагоналями, пересекающимися в точке O, и условие AB + CD = AD + BC выполнено.

Для начала обратим внимание на треугольники AOB и COD, которые образованы диагоналями. Мы знаем, что сумма длин сторон AB и CD равна сумме длин сторон AD и BC, поэтому можем записать:

AB + CD = AD + BC

Теперь заметим, что мы можем представить стороны четырехугольника как суммы отрезков AO и OB для стороны AB, CO и OD для стороны CD, AO и AD для стороны AD, и CO и BC для стороны BC:

AB = AO + OB CD = CO + OD AD = AO + OD BC = CO + OB

Теперь подставим эти выражения в условие:

(AO + OB) + (CO + OD) = (AO + OD) + (CO + OB)

Обратим внимание, что некоторые слагаемые сокращаются:

AO + OB + CO + OD = AO + OD + CO + OB

Теперь перегруппируем слагаемые:

AO + OD + OB + CO = AO + OD + OB + CO

Обратим внимание, что слева и справа получилось одинаковое выражение, которое можно упростить:

AO + OD = AO + OD

Сокращая общие члены, мы получаем:

0 = 0

Это утверждение верно, и означает, что условие AB + CD = AD + BC нам ничего не говорит о равенстве длин AO и OD, так как уравнение всегда выполняется.

Однако из этого уравнения мы можем сделать вывод о равенстве длин AO и OC, а также о равенстве длин BO и OD. Это связано с тем, что в четырехугольниках с перпендикулярными диагоналями диагонали делятся пополам, и мы можем записать:

AO + OD = AO + OC и AO + OB = BO + OD

Из первого уравнения можно выразить OD через OC: OD = OC.

Из второго уравнения можно выразить AO через BO: AO = BO.

Таким образом, мы получаем, что AO = OC или BO = OD, что и требовалось доказать.