Question

Відрізки АВ і СD перетинаются в точці О та діляться точкою перетину навпіл.Доведіть,що ∆АВС=∆ВАD

Answer 1

За умовою відрізки АВ і СD перетинаються в точці О та діляться точкою перетину навпіл, тобто AO = OB, CO = OD. Вертикальні кути рівні ﮮ COA = ﮮDOB. За двома сторонами та кутом між ними ∆АВС = ∆ВАD.

Answer 2

Для доведення, що ∆АВС ≡ ∆ВАD, потрібно показати, що ці трикутники мають рівні сторони і рівні кути.

Дано, що відрізки АВ і СD перетинаються в точці О та діляться точкою перетину навпіл. Це означає, що точка О є серединою і обох відрізків АВ і СD.

Давайте позначимо середину відрізка АВ як М і середину відрізка СD як N.

Тепер звернімо увагу на наступні властивості:

1. Середина відрізка ділить його на дві рівні частини. Тобто, МО = ОВ та НО = ОD.
2. Якщо дві прямі перетинаються у точці, розділяючи кожну з них на рівні частини, то ці прямі будуть перпендикулярними одна до одної.

Тепер маємо:

∠АОМ = ∠МОВ (бо вони є вертикальними кутами, утвореними перетином АВ і ОМ). ∠CON = ∠NOD (бо вони є вертикальними кутами, утвореними перетином CD і ON).

Оскільки МО = ОВ та НО = ОD, а ∠АОМ = ∠МОВ та ∠CON = ∠NOD, ми маємо наступне:

∆АОМ ≡ ∆ВОМ (за Тривалістю-Бічного-Тривалістю). ∆СОN ≡ ∆DОN (за Тривалістю-Бічного-Тривалістю).

Тепер зі структури графіку:

∠МОВ = ∠CON (оскільки вони є вертикальними кутами). ∠АОМ = ∠DОN (оскільки вони є вертикальними кутами).

Отже, маємо:

∠АОМ = ∠DОN (однакові кути). ∠МОВ = ∠CON (однакові кути). ∠АОВ = ∠DОN (за теоремою про суму кутів у трикутнику). ∠ВОА = ∠НОD (за теоремою про суму кутів у трикутнику).

З останніх двох рівностей випливає, що ∠АВО = ∠АОВ = ∠DОН = ∠ВОD.

Отже, ми довели, що ∆АВО ≡ ∆ВОD (за Трикутник-Кут-Трикутник).