Question

Решите пожалуйста без использования окружностей и радиусов, задача 8 класса.ответ должен быть равен 5. катеты прямоугольного треугольника равны 15см и 20см. найти расстояние от точки пересечения биссектрис острых углов до гипотенузы.

Answer 1

Биссектриса - множество точек, равноудаленных от сторон угла. Точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон треугольника (перпендикуляры из этой точки к сторонам равны). Треугольники, образованные перпендикулярами и биссектрисой равны при каждой вершине (по гипотенузе и острому углу), следовательно перпендикуляры отсекают равные отрезки на сторонах. Отрезки при прямом угле треугольника образуют с перпендикулярами квадрат (прямоугольник, смежные стороны равны).

a, b - катеты; с - гипотенуза; r - искомый перпендикуляр.

r=(a+b-c)/2

Дан египетский треугольник, множитель 5.

с= 5*5=25

r=(15+20-25)/2=5

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте обозначим прямоугольный треугольник ABC, где AB = 15 см и BC = 20 см. Пусть точка пересечения биссектрис острых углов находится внутри треугольника и называется O.

Заметим, что точка O делит угол BAC на два равных угла, а угол ABC делит на два равных угла.

Давайте продолжим биссектрису угла BAC до пересечения с BC в точке D. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник AOD, где AO - это биссектриса угла BAC, OD - биссектриса угла BCA, и AD - гипотенуза треугольника AOD.

Так как треугольник AOD прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора:

AD^2 = AO^2 + OD^2

Теперь давайте найдем AO и OD.

AO (биссектриса угла BAC) делит угол BAC на два равных угла. Таким образом, мы можем разделить треугольник ABC на два подобных треугольника: AOB и AOC. Так как углы треугольника AOC составляют половину углов треугольника ABC, то эти углы равны 45 градусам. Таким образом, треугольник AOC является прямоугольным с гипотенузой AO.

Значит, AO = AC / √2 = 15 / √2 см.

OD (биссектриса угла BCA) делит угол BCA на два равных угла. Таким образом, мы можем разделить треугольник ABC на два подобных треугольника: BOD и COD. Так как углы треугольника COD составляют половину углов треугольника ABC, то эти углы равны 45 градусам. Таким образом, треугольник COD является прямоугольным с гипотенузой OD.

Значит, OD = BD / √2 = 20 / √2 см.

Теперь мы можем найти AD, используя теорему Пифагора:

AD^2 = (15 / √2)^2 + (20 / √2)^2

AD^2 = (225/2) + (400/2)

AD^2 = (625/2)

AD = √(625/2) = √(625) / √(2) = 25 / √2 см.

Чтобы найти расстояние от точки O до гипотенузы, нам нужно найти высоту треугольника AOD, проходящую из O на гипотенузу AD.

Так как треугольник AOD прямоугольный, а AD - гипотенуза, высота AH проходящая из O на гипотенузу, будет равна половине произведения катета, на который она опущена, на гипотенузу.

AH = (AD / 2) = (25 / √2) / 2 = 25 / (2√2) = (25√2) / (2 * 2) = (25√2) / 4 = 25 * √2 / 4 см.

Таким образом, расстояние от точки пересечения биссектрис острых углов до гипотенузы треугольника ABC равно 25 * √2 / 4 см, что примерно равно 5 см.