Question

Срочно!!! Расстояния от точки треугольника, взятой внутри равностороннего треугольника АВС, до сторон АВ, ВС, АС равны соответственно 1,7 см, 2,8 см, 1,5 см. Найти площадь этого треугольника.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Предлагаю то же самое решение, как и у уважаемого valenivan, только "в профиль"

Как известно, (а кому не известно, то доказывается в 6 секунд, например, у valenivan в началных строчках), что высота такого треугольника равна сумме указанных расстояний, т.е. h=1/7+2.8+1.5=6

но h=a√3/2=6 ⇒a=12/√3

высота есть, сторона тоже, площадь находится элементарно

S=12√3

Answer 3

Для решения этой задачи, давайте обозначим точку внутри равностороннего треугольника ABC как точку О. Затем мы можем использовать формулу для площади треугольника, выраженную через длины его сторон и радиусы вписанных окружностей.

Пусть сторона треугольника ABC равна a. Так как треугольник ABC равносторонний, все его стороны равны между собой: AB = BC = AC = a.

Пусть точка ОB, где ОB = 1,7 см, пересекает сторону AC в точке М, точка OC, где OC = 2,8 см, пересекает сторону AB в точке N, и точка OA, где OA = 1,5 см, пересекает сторону BC в точке P.

Теперь наша задача - найти длину стороны треугольника и радиусы вписанных окружностей, используя данную информацию.

С помощью теоремы о трех касательных (по построению) можем заметить, что точки М, N и P - это точки касания вписанных окружностей треугольника ABC. Пусть радиусы этих вписанных окружностей равны r1, r2 и r3 соответственно.

Теперь у нас есть следующие данные:

1. ОB = 1,7 см, что равно r1 (радиус вписанной окружности треугольника ОВМ).
2. OC = 2,8 см, что равно r2 (радиус вписанной окружности треугольника ОСN).
3. OA = 1,5 см, что равно r3 (радиус вписанной окружности треугольника ОАР).

Теперь мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника, выраженную через его сторону (a) и радиус вписанной окружности (r):

Площадь треугольника ABC = (a^2 * sqrt(3)) / 4

А также, существует формула для радиуса вписанной окружности равностороннего треугольника:

Радиус вписанной окружности (r) = a / (2 * sqrt(3))

Теперь мы можем найти длину стороны треугольника (a) с помощью радиуса r1:

r1 = a / (2 * sqrt(3))

a = 2 * sqrt(3) * r1

Теперь, подставив a обратно в формулу для площади, мы можем найти площадь треугольника ABC:

Площадь треугольника ABC = (a^2 * sqrt(3)) / 4 Площадь треугольника ABC = (2 * sqrt(3) * r1)^2 * sqrt(3) / 4 Площадь треугольника ABC = 3 * r1^2

Теперь мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 3 * r1^2. Нам нужно только найти r1, что равно 1,7 см:

Площадь треугольника ABC = 3 * (1,7)^2 Площадь треугольника ABC = 3 * 2,89 Площадь треугольника ABC = 8,67 кв. см

Таким образом, площадь треугольника ABC составляет 8,67 квадратных сантиметров.