Question

На сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC взята точка D так, что окружность, про­хо­дя­щая через точки A, C и D, ка­са­ет­ся пря­мой BC. Най­ди­те AD, если AC = 40, BC = 34 и CD = 20.

Answer 1

Если окружность касается прямой ВС и проходит через точку С, то С - точка касания:

угол между касательной и хордой равен половине заключенной дуги:

$\angle BCA=\frac{1}{2}\breve{CD}$

∠DAC - вписанный, значит:

$\angle DAC=\frac{1}{2}\breve{CD}$

Отсюда:

$\angle BCA=\angle DAC$

Для треугольников АВС и DBC: ∠В - общий ⇒ они подобны по двум углам

$\Delta ABC \sim \Delta DBC$

Значит справедливы равенства:

$\frac{BC}{BD} =\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CD} \\ \\ \frac{34}{BD}=\frac{AB}{34} =\frac{40}{20}=2 \\ \\ AB=2*34=68 \\ BD=\frac{34}{2}=17 \\ \\ AD=AB-BD=68-17=51 \\ \\ OTBET: \ 51$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами касательных окружностей и применим степень точки относительно окружности.

Пусть точка E - точка касания окружности с прямой BC. Тогда по свойству касательных окружностей, AE = DE.

Обозначим длину AD через x. Теперь рассмотрим два случая:

1. Точка D находится внутри треугольника ABC: В этом случае продолжим отрезок BC за точку C до точки F так, чтобы BF было равно CD (BF = CD = 20).

   Так как AE = DE, то треугольник AED равнобедренный, и угол AED равен углу ADE.

   Теперь рассмотрим треугольник ABC и треугольник ACF. Они подобны, так как имеют два равных угла: Угол BAC равен углу FAC (так как оба равны углу FCB из-за касательности окружности к прямой BC). Угол ABC равен углу AFC (так как оба равны углу ACD из-за касательности окружности к прямой BC).

   Таким образом, ABC подобен ACF с коэффициентом подобия k = AC / AF = 40 / (40 + 20) = 2/3.

   Теперь мы можем найти BF, зная BC и CD: BF = BC - CD = 34 - 20 = 14.

   Также, AF = AC - FC = 40 - 20 = 20.

   Теперь, так как треугольники ABC и ACF подобны, мы можем выразить длину AF через AD: AF / AD = BC / BF 20 / x = 34 / 14

   Теперь решим уравнение относительно x: 20 * 14 = 34 * x 280 = 34x x = 280 / 34 ≈ 8.24

   Таким образом, AD ≈ 8.24.

2. Точка D находится на продолжении отрезка BC: В этом случае AD - отрицательно (AD < 0).

   Подробности этого случая можно проиллюстрировать на рисунке, но к сожалению, текстовым описанием они не передаются. В таком случае, AD будет равно противоположной величине полученного значения в первом случае, то есть AD ≈ -8.24.

Итак, мы получили два значения: AD ≈ 8.24 и AD ≈ -8.24, в зависимости от положения точки D относительно отрезка BC.