Question

Помогите с геометрией Середины сторон треугольника авс имеют координаты: м(3;-2;5, N (3,5;-1;6), K(-1,5;1;2). Найдите координаты вершин треугольника АВС.

Answer 1

Даны координаты  середин сторон треугольника АВС: M(3;-2;5, N (3,5;-1;6), K(-1,5;1;2).

Две половины сторон треугольника АВС и два стороны треугольника MNK образуют параллелограмм.

Поэтому координаты точки А симметричны точке К относительно середины  отрезка MN как конец диагонали АК параллелограмма ANKM.

Аналогично вершины В и С.

Находим координаты середин отрезков:

О = (1/2)MN  = ((3 + 3,5)/2=3,25; (-2-1)/2=-1,5; (5+6)/2=5,5) = (3,25; -1,5; 5,5).

Р = (1/2)NK = ((3-1,5)/2=0,75; (-2+1)/2=-0,5; (5+2)/2=3,5) = (0,75; -0,5; 3,5).

Т = (1/2)MK = (3,5-1,5)/2=1; (-1+1)/2=0; (6+2)/2=4) = (1; 0; 4).

Теперь находим симметричные точки как вершины треугольника АВС.

А = 2О - К = (8; -4; 9).

В = 2Р - M = (-1; 2; 3).

C = 2T - N = (-2; 0; 1).

Answer 2

Для нахождения координат вершин треугольника АВС нам необходимо использовать свойство серединных перпендикуляров в треугольнике.

Середины сторон треугольника делят каждую сторону на две равные части, и вектор, соединяющий середину стороны с вершиной, является половиной вектора стороны.

Пусть M - середина стороны АВ, N - середина стороны АС и К - середина стороны ВС. Тогда координаты вершин треугольника А, В и С можно найти следующим образом:

1. Координаты вершины А (x_a, y_a, z_a): x_a = 2 * x_m - x_k, y_a = 2 * y_m - y_k, z_a = 2 * z_m - z_k.

2. Координаты вершины В (x_b, y_b, z_b): x_b = 2 * x_n - x_m, y_b = 2 * y_n - y_m, z_b = 2 * z_n - z_m.

3. Координаты вершины С (x_c, y_c, z_c): x_c = 2 * x_k - x_n, y_c = 2 * y_k - y_n, z_c = 2 * z_k - z_n.

Теперь подставим значения координат середин сторон треугольника из условия в эти формулы:

M(3, -2, 5), N(3, 5, -1), K(-1, 5, 2).

1. Координаты вершины А: x_a = 2 * 3 - (-1) = 7, y_a = 2 * (-2) - 5 = -9, z_a = 2 * 5 - 2 = 8.

2. Координаты вершины В: x_b = 2 * 3 - 3 = 3, y_b = 2 * 5 - (-2) = 12, z_b = 2 * (-1) - 5 = -7.

3. Координаты вершины С: x_c = 2 * (-1) - 3 = -5, y_c = 2 * 5 - 5 = 5, z_c = 2 * 2 - (-1) = 5.

Таким образом, координаты вершин треугольника АВС равны: А(7, -9, 8), В(3, 12, -7), С(-5, 5, 5).