Question

Параллелограммы АВСD и АВМК лежат в разных плоскостях. Докажите, что прямая СD параллельна плоскости АМК.

Answer 1

Смотри решение во вложении

Answer 2

Для доказательства, что прямая CD параллельна плоскости АМК, мы должны использовать свойства параллельных линий и плоскостей.

Допустим, что параллелограммы ABCD и ABMK лежат в разных плоскостях, и обозначим эти плоскости как плоскость ABCD и плоскость ABMK соответственно.

Предположим, что прямая CD не параллельна плоскости ABMK. Это означает, что прямая CD пересекает плоскость ABMK в точке P (см. рисунок ниже).

javascriptCopy code
         M        K
         *-------*
        /       /
       /       /
      /       /
A----*-------*----B
      \      |
       \     |
        \    |
         \   |
          \  |
           \ |
            \|
             * C
             |
             |
             |
             D

Так как АМ перпендикулярна к прямой АВ, то лежащая в плоскости ABMK прямая АМ также перпендикулярна к плоскости ABMK. Значит, она должна пересекать плоскость ABMK по прямой МP.

Теперь рассмотрим параллелограмм ABMK. В этом параллелограмме МК || АБ, так как противоположные стороны параллельны. Это означает, что прямая МP, лежащая в плоскости ABMK и пересекающая сторону МК, должна быть перпендикулярна к МК.

Теперь у нас есть два утверждения:

1. Прямая МP перпендикулярна к МК.
2. Прямая МP пересекает МК.

Однако это противоречие: прямая не может быть одновременно перпендикулярной и пересекать одну и ту же прямую.

Таким образом, наше предположение о том, что прямая CD не параллельна плоскости ABMK, было неверным. Значит, прямая CD должна быть параллельна плоскости ABMK.