Question

В параллелограмме авсд проведены высоты вн и ве к сторонам ад и сд соответственно при этом вн=ве. докажите что авсд — ромб

Answer 1

Доказательство:
1) ВН=ВЕ (по усл.)
уголН = углуЕ = 90 град(по усл)
уголА =углуС (по свойству пар-ма)
Следовательно, треугольник АВН= треугольникуВСЕ (по по катету и противолежащему углу)
2) Из п.1 следует, что АВ=ВС, значит АВСД-ромб.

Answer 2

Для доказательства того, что параллелограмм ABCD является ромбом, нам нужно показать, что все его стороны равны. Мы уже знаем, что в данном параллелограмме проведены высоты VN и VE к сторонам AD и CD соответственно, и что VN = VE. Также известно, что параллелограмм имеет противоположные стороны равными и параллельными.

Для начала, рассмотрим треугольник AVE. В этом треугольнике, VN - высота, опущенная из вершины A, и VE - высота, опущенная из вершины E. Из свойств параллелограмма следует, что треугольник AVE равнобедренный, так как VE = VN и AE || VN (из-за параллельности AD и CD).

Теперь рассмотрим треугольник ADE. В этом треугольнике, VN - высота, опущенная из вершины A, и DE - одна из сторон параллелограмма. Из определения параллелограмма следует, что угол DAE равен углу EAD.

Поскольку треугольник AVE равнобедренный и угол DAE равен углу EAD, мы можем сделать вывод, что треугольник AVE равнобедренный и равносторонний. То есть, все его стороны равны: AV = AE = VE.

Теперь мы видим, что в параллелограмме ABCD все четыре стороны равны (AV = AE = VE = AD). Следовательно, параллелограмм ABCD является ромбом, так как ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны.