Question

3. В треугольнике АВС медиана AD и биссектриса ВЕ перпендикулярны и пересекаются в точке F. Известно, что площадь треугольника DEF равна 10. Найдите площадь треугольника АВС.

Answer 1

Треугольник ABD — равнобедренный, т.к. его биссектриса BF является высотой Поэтому

AF = FD    SAFE = SDFE = 5.

Кроме того BC = 2BD = 2AB. Тогда по свойству биссектрисы треугольника

  = 2.

Следовательно,

SDEC = 2SADE = 4SDEF = 20, SADC = 30.

Значит,

SABC = 2SADC = 60.

Треугольник ABD — равнобедренный, т.к. его биссектриса BF является высотой. Поэтому

AF = FD    SAFE = SDFE = 5.

Кроме того, BC = 2BD = 2AB. Тогда по свойству биссектрисы треугольника

 =  2.

Следовательно,

SDEC = 2SADE = 4SDEF = 20, SADC = 30.

Значит,

SABC = 2SADC = 60.

Треугольник ABD — равнобедренный, т.к. его биссектриса BF является высотой. Поэтому

AF = FD    SAFE = SDFE = 5.

Кроме того, BC = 2BD = 2AB. Тогда по свойству биссектрисы треугольника

 =  = 2.

Следовательно,

SDEC = 2SADE = 4SDEF = 20, SADC = 30.

Значит,

SABC = 2SADC = 60

Answer 2

Пусть треугольник АВС имеет стороны a, b и c, а точки D и E делят соответствующие стороны на равные отрезки, то есть AD = DB = a/2 и BE = EC = b/2.

Так как F - точка пересечения медианы и биссектрисы треугольника, она делит медиану и биссектрису в соотношении 2:1. Это означает, что DF = 2 * FE.

Площадь треугольника можно выразить через длины сторон с помощью формулы Герона:

Пусть p - полупериметр треугольника АВС:

p = (a + b + c) / 2

Тогда площадь треугольника АВС равна:

S(ABC) = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

Теперь давайте выразим длины сторон a и b через отрезки AD и BE:

a = 2 * AD

b = 2 * BE

Таким образом, полупериметр p примет вид:

p = (2 * AD + 2 * BE + c) / 2

Поскольку AD = a / 2 и BE = b / 2, можем переписать p:

p = (a + b + c) / 2

Таким образом, площадь треугольника АВС можно переписать следующим образом:

S(ABC) = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

S(ABC) = √(p * (p - 2 * AD) * (p - 2 * BE) * (p - c))

S(ABC) = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

Таким образом, площадь треугольника АВС равна корню из произведения полупериметра треугольника на разности полупериметра и длин медианы и биссектрисы.

Теперь давайте найдем площадь треугольника DEF:

S(DEF) = 10

Так как треугольник DEF является медианного треугольника, его площадь равна половине площади треугольника АВС:

S(DEF) = 0.5 * S(ABC)

Теперь мы можем найти площадь треугольника АВС:

S(ABC) = 2 * S(DEF)

S(ABC) = 2 * 10

S(ABC) = 20

Таким образом, площадь треугольника АВС равна 20.