Question

Дан куб (абсда1б1с1д1), ребро которого равно 1 найдите угол между векторами ДА1 и ДМ, где точка М- середина ребра СС1

Answer 1

Достроим сечение, проходящее через прямые А1Д и ДМ. Это будет трапеция  А1ДМР, МР║А1Д , МР=0,5*В1С=0,5*А1Д  (А1Д=В1С) .

А1Д=√(АА1²+АД²)=√(1+1)=√2 ,  МР=0,5*√2=√2/2 .

Проведём высоты трапеции:  РН⊥А1Д и МК⊥А1Д .

КД=0,5*(А1Д-НК)=0,5*(А1Д-РМ)=0,5*(√2-√2/2)=0,5*(√2/2)=√2/4 .

ΔКДМ:  ∠ДКМ=90° , МД=√(СД²+МС²)=√(1²+0,5²)=√(1+1/4)=√(5/4)=√5/2 ,

cos∠КДМ=КД/МД=√2/4:√5/2=√2/(2·√5)=1√10 .

∠КДМ=arccos(1/√10)=arccos(√10/10) .

Answer 2

Для начала, давайте определим координаты точек Д, А1, М и С. Поскольку дан куб с ребром равным 1, его вершины можно обозначить следующим образом:

Д(0, 0, 0) А1(1, 0, 0) С(0, 1, 0) С1(0, 0, 1)

Также, учитывая, что точка М - середина ребра СС1, её координаты будут равны средним значениям координат точек С и С1:

М(0, 0.5, 0.5)

Теперь мы можем найти вектора ДА1 и ДМ:

Вектор ДА1: А1 - Д = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0) Вектор ДМ: М - Д = (0, 0.5, 0.5) - (0, 0, 0) = (0, 0.5, 0.5)

Чтобы найти угол между векторами, используем формулу скалярного произведения векторов:

cos(θ) = (ДА1 * ДМ) / (|ДА1| * |ДМ|)

где ДА1 * ДМ - скалярное произведение векторов ДА1 и ДМ, |ДА1| и |ДМ| - длины векторов ДА1 и ДМ соответственно.

Сначала найдем скалярное произведение:

ДА1 * ДМ = (1 * 0) + (0 * 0.5) + (0 * 0.5) = 0

Теперь найдем длины векторов:

|ДА1| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = √1 = 1 |ДМ| = √(0^2 + 0.5^2 + 0.5^2) = √0.5 = 0.7071 (округляем до четырех знаков после запятой)

Теперь подставим значения в формулу для cos(θ):

cos(θ) = 0 / (1 * 0.7071) ≈ 0

Найдем угол θ, используя обратную функцию косинуса:

θ = arccos(0) = 90°

Таким образом, угол между векторами ДА1 и ДМ равен 90 градусов.