Question

9 класс, 50 баллов фигура, образованная путём последовательного соединения середин сторон четырёхугольника, является параллелограммом. докажите, что площадь этого четырёхугольника равна двум площадям параллелограмма(теорема Вариньона)

Answer 1

...........................................................................

Answer 2

Для доказательства теоремы Вариньона, сначала нам нужно вспомнить некоторые свойства параллелограмма и четырехугольника, образованного соединением середин сторон.

Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, и точки M, N, P, Q - середины его сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Давайте обозначим стороны четырехугольника как a, b, c и d, а стороны параллелограмма, образованного соединением середин сторон, как p и q. Также обозначим его площадь как S.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллельны и равны по длине.
2. Противоположные углы равны.

Теперь приступим к доказательству:

Шаг 1: Докажем, что стороны p и q равны между собой. Из свойств серединных перпендикуляров следует, что MP || AB и MN || BC. Таким образом, у нас получается параллелограмм MBQN, и следовательно, стороны MQ и BN равны и параллельны.

Аналогично, MQ || CD и PQ || AD, что говорит нам о том, что параллелограмм MQPD образован точками M, Q, P и D, и его стороны MQ и PD равны и параллельны.

Мы знаем, что BN || MQ и MQ || PD, поэтому BN || PD. Аналогично, MN || AQ и MN || CP, что говорит нам о том, что параллелограмм BNPC образован точками B, N, P и C, и его стороны BN и PC равны и параллельны.

Таким образом, мы установили, что стороны параллелограмма MBQN равны сторонам параллелограмма BNPC, и это означает, что p = q.

Шаг 2: Вычислим площадь параллелограмма, образованного соединением середин сторон. Площадь параллелограмма MBQN равна половине площади четырехугольника ABCD, так как его высота равна высоте четырехугольника, а основания равны соответствующим сторонам четырехугольника. Аналогично, площадь параллелограмма BNPC также равна половине площади четырехугольника ABCD.

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей параллелограммов MBQN и BNPC, то есть S = 0.5S + 0.5S, что приводит к уравнению S = 2S.

Заключение: Мы доказали, что площадь четырехугольника ABCD равна двум площадям параллелограмма, образованного соединением середин сторон. Таким образом, теорема Вариньона подтверждается.