Question

В треугольнике ABC точки K и L расположены соответственно на продолжениях сторон AB и BC так, что BK=AB, CL=BC, прямые KL и AC пересекаются в точке M. Найти отношение AM:AC.

Answer 1

Если моё решение оказалось полезным, смело отмечайте его как «лучший ответ».

Answer 2

Для решения задачи, нам понадобится использовать свойства подобных треугольников. Давайте обозначим длины сторон треугольника ABC:

AB = a, BC = b, AC = c.

Так как точка K находится на продолжении стороны AB за точкой B и BK = AB, то аналогично точке L находится на продолжении стороны BC за точкой C и CL = BC.

Теперь рассмотрим треугольники KMB и ACB. По условию, прямые KL и AC пересекаются в точке M, следовательно, треугольники KMB и AMC подобны (по двум углам). Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны:

KB / AB = MB / AC.

Так как BK = AB, то KB / AB = 1.

Тогда получаем MB / AC = 1.

Теперь рассмотрим треугольники LMC и ABC. Они также подобны (по двум углам), поэтому соответствующие стороны пропорциональны:

LC / BC = MC / AC.

Так как CL = BC, то LC / BC = 1.

Тогда получаем MC / AC = 1.

Мы выяснили, что MB / AC = MC / AC = 1.

Теперь сосредоточимся на треугольнике AMC. Мы знаем, что отношение длин сторон MB и MC равно 1. Так как сумма длин сторон MB и MC равна длине стороны AC (по построению), то можем записать:

MB + MC = AC.

Заменим значения MB и MC:

1 + 1 = AC,

то есть AC = 2.

Теперь нам нужно найти отношение AM к AC:

AM / AC = AM / 2.

По свойству подобных треугольников, это отношение равно отношению соответствующих сторон треугольников AMC и ABC. Из предыдущих рассуждений мы знаем, что треугольники KMB и LMC подобны треугольникам AMC и ABC, а значит, их стороны пропорциональны. В частности, отношение сторон AM и AC равно 1:2.

Таким образом, мы получили, что AM:AC = 1:2.