Question

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке D. Докажите, что если отрезок AD - медиана треугольника, то AB = AC . Рисунок. Срочно!

Answer 1

Рассмотрим треугольник ABD и треугольник ACD
AD-общая сторона
BD=DC т.к ad медиана
Угол ADB=углуADC=90 градусов
Тк BC касательная к окружности
Из этого следует что треугольник ABD=треугольнику ACD значит и соответственные стороны равны.
Рисунок сам это изи, удачи

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольник ABC и окружность, вписанную в него. Пусть точка D - точка касания окружности со стороной BC, а точка E - точка касания окружности со стороной AB (см. рисунок).

cssCopy code
        A
       / \
      /   \
     /     \
    /       \
   /_________\
  B     D     C

Для начала обратим внимание, что точка D является точкой касания вписанной окружности, а, следовательно, отрезок BD равен отрезку CD (1).

Также заметим, что отрезок AD является медианой треугольника ABC, а, значит, делит сторону BC на две равные части (2).

Теперь предположим, что AB не равна AC. Без потери общности, предположим, что AB больше AC (3).

Из (1) и (2) следует, что BD = CD и AD делит BC на две равные части (4).

Теперь рассмотрим треугольник ABD. В нем сторона AB больше стороны AD (по предположению (3)), а угол ABD равен углу BAD (так как AD - медиана треугольника, и медиана делит противоположную сторону на две равные части). Таким образом, треугольник ABD имеет две стороны, равные двум сторонам треугольника ADB, и угол между ними равен (5).

Теперь рассмотрим треугольник ACD. В нем сторона AC меньше стороны AD (по предположению (3)), а угол ACD равен углу CAD (так как AD - медиана треугольника, и медиана делит противоположную сторону на две равные части). Таким образом, треугольник ACD имеет две стороны, равные двум сторонам треугольника ADC, и угол между ними равен (6).

Теперь сравним треугольники ABD и ACD:

• AB > AC (по предположению (3)).
• BD = CD (по (1)).
• Углы ABD и ACD равны (по (5) и (6)).

Из этих условий следует, что треугольник ABD должен быть больше треугольника ACD по стороне и двум углам. Это противоречит тому, что треугольник ABC - равнобедренный треугольник, так как в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, и соответствующие углы равны. Мы пришли к противоречию.

Следовательно, наше предположение неверно, и AB должно быть равно AC.

Таким образом, доказано, что если отрезок AD является медианой треугольника ABC, то AB равно AC.