Question

В окружности с центром О проведены хорды ДЕ и РК,причём угл ДОЕ равен углу РОК.Докажите,что эти хорды равны.

Answer 1

1. Нарисуй рисунок

2.Треугольники DEO и POK равны за первым признаком равенства треугольников ( DO=EO=PO=OK как радиусы)

3. Значит, DE=PK

Answer 2

Для того чтобы доказать, что хорды DE и РК равны, нужно показать, что их длины одинаковы. Для этого рассмотрим данную ситуацию и применим некоторые свойства окружностей.

Пусть А и В - точки пересечения хорд DE и РК с окружностью, а М - точка пересечения хорд между собой.

Так как угол ДОЕ равен углу РОК, то эти углы опираются на равных дугах AE и КВ окружности. А значит, угол АМЕ равен углу АМК (так как это вертикальные углы).

Теперь мы имеем два подобных треугольника: треугольник АМЕ и треугольник АМК (по двум углам одинаковы и углы между равными сторонами равны). Отсюда можно заключить, что отношение длин сторон в этих треугольниках будет одинаково:

АМ / АМ = ЕМ / КМ

Так как М - точка пересечения хорд между собой, АМ это общая сторона для хорд DE и РК, и можно записать:

DE / РК = ЕМ / КМ

Но мы уже знаем, что ЕМ / КМ = АМ / АМ, и так как АМ равно само себе, то:

DE / РК = 1

Отсюда следует, что длины хорд DE и РК равны друг другу:

DE = РК

Таким образом, хорды DE и РК равны.