Question

У прямокутному трикутнику висота і медіана проведені з вершини прямого кута відповідно дорівнюють 40 і 41 см.Знайти довжину бісектриси, проведеної з цієї ж вершини В прямоугольном треугольнике высота и медиана проведены с вершины прямого угла соответственно равны 40 и 41 см .Найти длину биссектрисы, проведенной из этой же вершины

Answer 1

Возьмём треугольник ABC ( угол В=90 градусов), в котором ВН -высота, ВM - медиана

Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, соответственно ВM = АM=CM=41 см.

В треугольнике ВНM найдём НM по теореме Пифагора:

НM=√(41²-40²)=√(1681 - 1600) = 9 см.

3)тогда AН = AM - НM =41 - 9 = 32 см.

Тогда сторона АВ по теореме Пифагора равна:

АВ=√(40² + 32²)=√(1600 + 1024) = √2624 = 8√41 см.

Аналогично сторона ВС равна:

ВС = √(82² - (8√41²) = √(6724 - 2624) = √4100 = 10√41 см.

Теперь все стороны треугольника АВС известны, биссектрису ВК в нём из вершины В можно найти несколькими способами.

Можно применить готовую формулу:

ВК = (2/(а + с)*√(аср(р - в)). Здесь полупериметр р = 98,628118 см.

Подставив данные, получим ВК = 40,246156 см.

Можно по теореме косинусов.

Тангенс угла С равен (8√41 /10√41 ) = 4/5.

Косинус С = 1/(√(1 + (4/5)²) = 5/√41.

Находим СК по свойству биссектрисы АВ/АК = ВС/СК.

СК/10√41  = (82 - СК)/8√41.

Отсюда находим СК = (410/9) см.

Тогда биссектриса ВК равна:

ВК = √((10√41)² + (410/9)² - 2*(10√41)*(410/9)*(5/√41 ) = 40,24616 см.  

Answer 2

Для розв'язання задачі про довжину бісектриси проведеної з вершини прямого кута, спочатку використаємо відомі дані про медіану та висоту у прямокутному трикутнику.

Довжина медіани в прямокутному трикутнику, проведеної з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи (гіпотенуза - найбільша сторона трикутника). Тобто, якщо медіана дорівнює 41 см, то гіпотенуза дорівнює 2 * 41 см = 82 см.

Довжина висоти, проведеної з вершини прямого кута, визначається як відстань від вершини прямого кута до протилежного кута. Так як трикутник прямокутний, то висота розділяє його на два подібні прямокутні трикутники. Таким чином, можемо скласти рівняння:

(довжина висоти) * (довжина медіани) = (площа прямокутного трикутника) / 2

де площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:

(довжина висоти) * 41 см = (40 см * 82 см) / 2

Тепер знайдемо довжину висоти:

(довжина висоти) = (40 см * 82 см) / (2 * 41 см) = 80 см

Тепер, знаючи довжину висоти та довжину медіани, можемо використати теорему Піфагора для знаходження довжини бісектриси:

(довжина бісектриси) = √[(площа прямокутного трикутника) / (півпериметр прямокутного трикутника)]

Перше давно вже ми визначили, площа та півпериметр також легко знайти:

Площа прямокутного трикутника = (40 см * 82 см) / 2 = 1640 кв. см

Півпериметр прямокутного трикутника = (40 см + 82 см + 82 см) / 2 = 102 см

Тепер знаходимо довжину бісектриси:

(довжина бісектриси) = √(1640 кв. см / 102 см) ≈ √16 ≈ 4 см

Отже, довжина бісектриси, проведеної з вершини прямого кута, дорівнює приблизно 4 см.