Question

Доказать тождество 1+сtg^2a=1/sin^2a

Answer 1

............................

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны:

Левая сторона: 1 + ctg^2(a)

Поскольку ctg(a) равно 1/tan(a), то ctg^2(a) будет равно (1/tan(a))^2, что можно переписать как 1/tan^2(a).

Теперь левая сторона примет вид: 1 + 1/tan^2(a).

Теперь вспомним тождество для тангенса и секанса: tan^2(a) + 1 = sec^2(a).

Перепишем левую сторону с использованием этого тождества: 1 + 1/tan^2(a) = 1 + tan^2(a) / tan^2(a) = 1 + (tan^2(a) + 1) / tan^2(a).

Упростим дальше: 1 + (tan^2(a) + 1) / tan^2(a) = 1 + (sec^2(a)) / tan^2(a).

Теперь вспомним еще одно тождество: sec^2(a) = 1/cos^2(a).

Подставим это в выражение: 1 + (sec^2(a)) / tan^2(a) = 1 + (1/cos^2(a)) / tan^2(a).

Далее, вспомним определение тангенса: tan(a) = sin(a) / cos(a).

Теперь выразим cos^2(a) из этого определения: cos^2(a) = 1 - sin^2(a).

Подставим это обратно в наше выражение: 1 + (1/(1-sin^2(a))) / tan^2(a).

Теперь, заменим tan(a) на sin(a) / cos(a) в знаменателе: 1 + (1/(1-sin^2(a))) / (sin^2(a) / cos^2(a)).

Упростим дальше: 1 + (1/(1-sin^2(a))) * (cos^2(a) / sin^2(a)).

Теперь, заметим, что (1 - sin^2(a)) это теорема Пифагора для синуса и косинуса, которая равна cos^2(a).

Продолжим упрощение: 1 + (cos^2(a) / sin^2(a)) * (cos^2(a) / sin^2(a)).

Теперь перемножим: 1 + cos^4(a) / sin^4(a).

Итак, левая сторона равна: 1 + cos^4(a) / sin^4(a).

Теперь перейдем к правой стороне тождества: 1 / sin^2(a).

Теперь выразим sin^4(a) из этого выражения: sin^4(a) = (sin^2(a))^2.

Подставим это обратно в правую сторону: 1 / sin^2(a) = 1 / (sin^2(a))^2.

Итак, правая сторона равна: 1 / (sin^2(a))^2.

Теперь мы видим, что левая и правая стороны совпадают:

1 + cos^4(a) / sin^4(a) = 1 / (sin^2(a))^2.

Таким образом, тождество 1 + ctg^2(a) = 1 / sin^2(a) доказано.