Question

На биссектрисе ДВ равнобедренного треугольника ДЕМ с основанием ЕМ отметили точку А. Докажите, что треугольник АЕМ равнобедренный

Answer 1

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла против основания (DB - биссектриса ∠EDM) является серединным перпендикуляром к основанию (DB - серединный перпендикуляр к EM). Точка A лежит на серединном перпендикуляре к отрезку EM, следовательно равноудалена от концов отрезка, AE=AM. Треугольник AEM - равнобедренный.

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник АЕМ является равнобедренным, нам понадобится информация о свойствах биссектрисы в равнобедренном треугольнике.

У нас есть равнобедренный треугольник ДЕМ, где DE = DM, так как это биссектриса угла D. Из этого следует, что угол DEM = угол DME, поскольку они соответственные углы при равных сторонах.

Далее, если точка А лежит на биссектрисе DV треугольника ДЕМ, она делит эту биссектрису на две равные части, то есть AV = VM.

Теперь рассмотрим треугольник АЕМ. У нас есть:

1. AV = VM (потому что точка А лежит на биссектрисе DV, и она делит ее на две равные части).
2. DE = DM (потому что треугольник ДЕМ равнобедренный).

Теперь посмотрим на углы. У нас есть:

3. Угол DEM = угол DME (так как это равнобедренный треугольник ДЕМ).

Аналогично, поскольку точка А лежит на биссектрисе DV, у нас будет:

4. Угол AED = угол DEM.

Когда мы объединим все эти факты, получим, что треугольник АЕМ имеет две равные стороны (AE = EM) и два равных угла (AED = DEM), что делает его равнобедренным.

Таким образом, треугольник АЕМ является равнобедренным.