Question

Точки B и D лежат в плоскости β, а точка K не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков BK и DK, паралельна плоскости β

Answer 1

В теугольнике ВКD NT - средняя линия - параллельна ВD, BD принадлежит плоскости b, значит NT параллельна плоскости b.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Обозначим точку, в которой пересекается прямая, проходящая через середины отрезков BK и DK, за M.

2. Обозначим середины отрезков BK и DK как P и Q соответственно.

3. Предположим, что прямая MQ не параллельна плоскости β.

4. Если MQ не параллельна плоскости β, тогда она пересекает плоскость β в некоторой точке N.

5. Рассмотрим треугольник BNK в плоскости β. Так как MQ пересекает плоскость β в точке N, она пересекает сторону BNK.

6. Теперь рассмотрим треугольник DNK в плоскости β. Так как MQ также пересекает плоскость β в точке N, она пересекает сторону DNK.

7. Так как MQ проходит через середины сторон BK и DK, она также проходит через середины сторон BN и DN.

8. Получаем, что MQ пересекает две стороны треугольника BNK и две стороны треугольника DNK.

9. Из теоремы о треугольнике следует, что MQ параллельна стороне BK и стороне DK, так как она делит их пополам.

10. Это означает, что MQ параллельна плоскости β, что противоречит предположению о том, что MQ не параллельна плоскости β.

11. Следовательно, наше предположение неверно, и прямая, проходящая через середины отрезков BK и DK, действительно параллельна плоскости β. Доказательство завершено.