Question

Докажите, что если три окружности имеют общую хорду, то их центры расположены на одной прямой. Напишите пожалуйста

Answer 1

Всё просто! Здесь мы пользуемся теоремой Коитусова.

Если Хорда 1-( Y )(Х) (_о_) хA 8=э

Где А - точка пересечения, а Х точка сочленения. Y - т.н. бугуртова линия, соединяющая центры окружности. э - греческая буква "пук" обозначающая хорду.

То есть согласно Наримановому закону, уточненному Коитусовым центны всегда будут находится на одной прямой.

Answer 2

Для доказательства того, что центры трех окружностей, имеющих общую хорду, лежат на одной прямой, воспользуемся свойством центров окружностей и докажем это утверждение.

Пусть у нас есть три окружности O1, O2 и O3 с центрами C1, C2 и C3, соответственно. Предположим, что окружности O1 и O2 пересекаются в точках A и B, окружности O2 и O3 пересекаются в точках B и C, а окружности O1 и O3 пересекаются в точках A и C. Общая хорда для всех трех окружностей – это отрезок AB и BC.

Теперь предположим, что центры C1, C2 и C3 не лежат на одной прямой. Пусть C1C2 и C2C3 - это отрезки, соединяющие центры O1 и O2, а также O2 и O3, соответственно.

Рассмотрим угол ABC. Поскольку AB - общая хорда окружностей O1 и O2, угол ABC должен быть прямым углом, так как угол, образованный хордой и диаметром окружности, всегда равен 90 градусам.

Теперь рассмотрим угол BCD. Аналогично, так как BC - общая хорда окружностей O2 и O3, угол BCD тоже должен быть прямым углом.

Теперь обратим внимание на треугольник BCC1. Угол BCC1 - это угол между хордой BC и радиусом C1C2 окружности O1, и он также равен прямому углу, так как хорда BC перпендикулярна радиусу C1C2.

Аналогично, в треугольнике BCC3, угол BCC3 между хордой BC и радиусом C2C3 окружности O3 также равен прямому углу.

Теперь у нас есть два прямых угла (ABC и BCD), оба образованы хордой BC и радиусами двух окружностей (O1 и O3). Так как углы в каждой точке суммируются до 180 градусов, и у нас есть два прямых угла, значит, угол BCC1 и BCC3 в сумме составляют 180 градусов.

Однако это противоречит основному свойству треугольника, согласно которому сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам.

Итак, предположение о том, что центры C1, C2 и C3 не лежат на одной прямой, является ложным. Следовательно, центры этих трех окружностей действительно лежат на одной прямой.