Question

Найти все целые решения неравенства 6х2+х-1<0

Answer 1

$6 {x}^{2} + x - 1 < 0 \\ 6 {x}^{2} + 3x - 2x - 1 < 0 \\ 3x(2x + 1) - (2x + 1) < 0 \\ (2x + 1)(3x - 1) < 0 \\ x1 = - \frac{1}{2} \: \: x2 = \frac{1}{3}$
отмечаем точки на числовой оси
х (-1/2;1/3). х=0 одно целое решение

Answer 2

Для того чтобы найти все целые решения неравенства $6x^2 + x - 1 < 0$, нужно найти значения $x$, при которых левая часть неравенства меньше нуля (отрицательна). Целое число $x$ удовлетворяет этому неравенству, если $6x^2 + x - 1$ меньше нуля.

Можем решить это, используя методы анализа функций или рассмотрев возможные целочисленные корни. Однако, для упрощения, воспользуемся методом графиков.

1. Построим график функции $y = 6x^2 + x - 1$.
2. Найдем интервалы, на которых функция меньше нуля.

График функции $y = 6x^2 + x - 1$ будет иметь форму параболы с положительным коэффициентом при $x^2$. Так как у параболы коэффициент при $x^2$ положительный, она будет открываться вверх.

Для построения графика, найдем вершину параболы и направление её открытия. Вершина имеет координаты $(h, k)$, где $h = -\frac{b}{2a}$ и $k = f(h)$, а $a = 6$ и $b = 1$ в нашем случае.

$h = -\frac{1}{2 \cdot 6} = -\frac{1}{12}$

$k = 6 \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)^2 + \left(-\frac{1}{12}\right) - 1 = -\frac{1}{24}$

Теперь построим график и найдем интервалы, на которых функция $y = 6x^2 + x - 1$ отрицательна (ниже оси $x$):

График параболы выглядит следующим образом:

bashCopy code
     /\
    /  \
   /    \
__/______\________

График пересекает ось $x$ в двух точках. Мы хотим найти интервалы между этими точками, на которых функция $y$ отрицательна. Заметим, что парабола отрицательна справа и слева от вершины. Так как вершина имеет координаты $(-1/12, -1/24)$, парабола будет отрицательной в интервалах:

1. $-\infty < x < -\frac{1}{12}$
2. $-\frac{1}{12} < x < \infty$

Теперь проверим каждый из этих интервалов, используя целые значения $x$.

1. Для интервала $-\infty < x < -\frac{1}{12}$:

Подставим целые значения $x$ от $-\infty$ до $-1$, чтобы убедиться, что $6x^2 + x - 1 < 0$:

$x = -2$ : $6(-2)^2 - 2 - 1 = 24 - 2 - 1 = 21 > 0$ (не подходит) $x = -1$ : $6(-1)^2 - 1 - 1 = 6 - 1 - 1 = 4 > 0$ (не подходит)

2. Для интервала $-\frac{1}{12} < x < \infty$:

Подставим целые значения $x$ от $0$ до $\infty$, чтобы убедиться, что $6x^2 + x - 1 < 0$:

$x = 0$ : $6(0)^2 + 0 - 1 = 0 - 1 = -1 < 0$ (подходит) $x = 1$ : $6(1)^2 + 1 - 1 = 6 + 1 - 1 = 6 > 0$ (не подходит) $x = 2$ : $6(2)^2 + 2 - 1 = 24 + 2 - 1 = 25 > 0$ (не подходит)

Таким образом, целые решения неравенства $6x^2 + x - 1 < 0$