Question

Задания 1. Решите неравенства. Соотнесите свои ответы с названиями промежутков. [8]1) х2 - 6х -16 ˂ 0;2) х2+10х+21 ≥ 0;3) 3х2-2х+ 1˂ 0;4) х2-144 ≤ 0;a) Неравенство не имеет решенийb) Решением неравенства является вся числовая прямаяc) Решением неравенства является одна точка.d) Решением неравенства является закрытый промежуток.e) Решением неравенства является открытый промежуток.f) Решением неравенства является объединение двух промежутков.2. Неравенство (х-а)(2х-2)(х+b) ˃ 0 имеет решение (-∞; - 3)ᴗ(1;6). Найдите значения a и b. [2] 3. Решите систему неравенств: [5] 2х2-3х-5 ˂ 0,6х - 4˂ 0​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1. 1- e   2- f     3-a    4-d

Answer 2

Прежде чем продолжить, давайте рассмотрим каждое из заданий по очереди.

Задание 1: Решение неравенств и соотнесение с промежутками

1. $x^2 - 6x - 16 < 0$ Это неравенство можно решить, находя корни квадратного уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$. Корни этого уравнения -4 и 10. Теперь можно построить знаковую линию и определить знак выражения на каждом из интервалов:

scssCopy code
   -∞     -4     10      +∞
    (-)     |-----|-----|     (+)

Знак выражения меняется с "меньше нуля" на интервале (-4, 10), так что решением неравенства является открытый промежуток (-4, 10).

2. $x^2 + 10x + 21 \geq 0$ Это квадратное уравнение имеет дискриминант $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$, что означает, что у него два действительных корня. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, парабола открывается вверх, и выражение положительно вне корней. Таким образом, решением неравенства является объединение двух промежутков: $(-\infty, -7) \cup (-3, +\infty)$.

3. $3x^2 - 2x + 1 < 0$ Это неравенство можно решить с использованием дискриминанта. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$, что означает, что уравнение не имеет действительных корней. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, парабола открывается вверх, и выражение положительно на всей числовой прямой. Следовательно, решением неравенства является промежуток $(-\infty, +\infty)$.

4. $x^2 - 144 \leq 0$ Это неравенство можно переписать как $x^2 \leq 144$, что в свою очередь означает, что $|x| \leq 12$. Таким образом, решением неравенства является закрытый промежуток $[-12, 12]$.

Ответы к заданию 1:

1. e) Решением неравенства $x^2 - 6x - 16 < 0$ является открытый промежуток $(-4, 10)$.
2. f) Решением неравенства $x^2 + 10x + 21 \geq 0$ является объединение двух промежутков: $(-\infty, -7) \cup (-3, +\infty)$.
3. b) Решением неравенства $3x^2 - 2x + 1 < 0$ является вся числовая прямая $(-\infty, +\infty)$.
4. d) Решением неравенства $x^2 - 144 \leq 0$ является закрытый промежуток $[-12, 12]$.

Задание 2: Нахождение a и b

Условие задачи: $(x - a)(2x - 2)(x + b) > 0$ имеет решение $(-∞; -3) \cup (1; 6)$.

Мы видим, что неравенство положительно в интервалах между корнями уравнения. То есть, неравенство меняет знаки при $x = -3$, $x = 1$ и $x = 6$.

• Между -∞ и -3: два множителя отрицательны, один положительный. Итог - положительное значение.
• Между -3 и 1: три множителя отрицательны. Итог - отрицательное значение.
• Между 1 и 6: два множителя положительны, один отрицателен. Итог - положительное значение.
• Между 6 и +∞: три множителя положительны. Итог - положительное значение.

Таким образом, нам нужно, чтобы неравенство было положительным в интервалах $(-∞; -3)$ и $(1; 6)$, а отрицательным в интервале $(-3; 1)$.

• При $x < -3$: все множители должны быть положительными, чтобы итог был положительным. Так что $x - a > 0$ и $2x - 2 > 0$, что даёт $x > 1$.
• При $1 < x < 6$: два множителя должны быть положительными, чтобы итог был положительным. Так что $2x - 2 > 0$ и $x + b > 0$, что даёт $x > 1$ и $x > -b$.
• При $x > 6$: все множители должны быть положительными, чтобы итог был положительны