Question

На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки D и E так, что AD = CE, точка D лежит между точками A и E. Докажите, что ∠ABD = ∠CBE.

Answer 1

ΔАВС  равнобедренный, АВ=ВС , АД=СЕ.

Точки на стороне АС расположены так:  А , Д , Е , С .

ΔАВД=ΔСВЕ  , так как  АД=СЕ и  АВ=ВС (по условию) , ∠ВАД=∠ВСЕ (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Значит соответствующие углы треугольников равны  ⇒

∠АВД=∠СВЕ

Answer 2

Для доказательства равенства углов ∠ABD и ∠CBE в равнобедренном треугольнике ABC согласно условию, мы можем воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника и замечаниями о равенстве углов.

Дано: Треугольник ABC — равнобедренный, т.е. AB = AC.

Доказательство:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC. Так как AB = AC, углы ∠ABC и ∠ACB будут равными. Обозначим их общую меру как α: ∠ABC = ∠ACB = α.

2. Также, по условию задачи, мы знаем, что AD = CE.

3. Теперь рассмотрим треугольники ABD и CBE:

   • Треугольник ABD: у нас уже есть, что угол ∠ABC равен α.
   • Треугольник CBE: угол ∠CBE обозначим как β.

4. Поскольку угол ∠ABC равен α, то угол ∠ABD тоже равен α, так как это равнобедренный треугольник (у равнобедренного треугольника боковые углы равны). ∴ ∠ABD = α.

5. Теперь обратим внимание на треугольник CBE: у нас есть угол ∠CBE, который обозначен как β. Поскольку AD = CE, это означает, что треугольники CBE и ABD подобны (по стороне-прилежащей-стороне). Из этого следует, что соответствующие углы в этих треугольниках будут равны. ∴ ∠CBE = α.

Таким образом, мы получили, что ∠ABD = α и ∠CBE = α, что значит, что ∠ABD = ∠CBE.

Таким образом, мы доказали, что углы ∠ABD и ∠CBE равны в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и дополнительными точками D и E, такими что AD = CE и D лежит между точками A и E.