Question

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) проведены серединные перпендикуляры FK и EM к боковым сторонам (EM перпендикулярно BC, FK перпендикулярно АВ), которые пересекают противоположные боковые стороны в точках М и К. Докажите, что АМ=СК.

Answer 1

В равнобедренном треугольнике АВС

Answer 2

Для доказательства равенства длин отрезков АМ и СК, нам понадобится использовать свойства равнобедренного треугольника и доказать равенство двух треугольников.

Дано:

1. Треугольник АВС является равнобедренным, то есть АВ = ВС.
2. Отрезки FK и EM являются серединными перпендикулярами боковых сторон треугольника, а именно EM ⊥ BC и FK ⊥ АВ.
3. Отрезки FK и EM пересекаются с противоположными сторонами в точках М и К соответственно.

Доказательство:

1. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что угол ВАС равен углу ВСА, так как стороны АВ и ВС равны. То есть ∠ВАС = ∠ВСА. (1)

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник АКМ. В нем угол АКМ прямой (так как КМ ⊥ АВ), и угол АМК равен углу ВСА (по (1) и тому что ВК ⊥ ВС), следовательно, треугольники АКМ и ВСА подобны по углам.

3. Так как АКМ и ВСА подобны, то отношение длин их сторон равно отношению длин соответствующих сторон: AK / АВ = МК / ВС (2)

4. Также рассмотрим прямоугольный треугольник СМК. В нем угол СМК прямой (так как МК ⊥ BC), и угол КСМ равен углу АВС (по (1) и тому что EM ⊥ BC), следовательно, треугольники СМК и АВС подобны по углам.

5. Так как СМК и АВС подобны, то отношение длин их сторон равно отношению длин соответствующих сторон: СМ / ВС = КМ / АВ (3)

6. Объединим уравнения (2) и (3): AK / АВ = СМ / ВС = МК / ВС = КМ / АВ

7. Из полученного уравнения видно, что AK = КМ и СМ = МК.

8. Таким образом, АКМ и СМК - равнобедренные треугольники с равными основаниями АК = КМ и СМ = МК, а значит, их высоты АМ и СК также равны.

9. Таким образом, доказано, что АМ = СК.